曲线渲染平滑：高斯卷积、Savitzky-Golay 回归与特征保护¶

摘要 —— 降采样解决的是"点太多画不动"，平滑解决的是"画出来像噪声"。上一篇文章的结论在这里变成前提：MinMax 桶降采样刻意保留每个桶的极值，因此随机抖动的极值也全部幸存——实测 100,000 点频谱在 900×500 画布上经降采样后，噪声带平均厚度仍有 65 像素行。QWT7.4 的渲染平滑在绘制管线的折线上直接施加低通滤波：高斯加权卷积与 Savitzky-Golay 局部多项式回归，两者只修改 \(y\) 坐标、不触碰采样数据。本文从偏差-方差分解出发，完整推导两种核的数学结构（含 Savitzky-Golay 的矩条件、\(p=2\) 与 \(p=3\) 等价的奇偶论证、以及"噪声增益等于核中心系数"的恒等式），随后剖析第三块拼图——特征保护：用宽基线 + MAD 稳健噪声估计 + 软阈值混合，把被滤波器削平的峰谷恢复到原始位置与高度。全部性质附数值实验验证与完整代码实践。

核心结论

高斯核（\(\sigma = w/4\)）噪声抑制最强（\(w=15\) 时残余噪声为输入的 28.6%），但对窄峰的衰减有闭式解：\(b/\sqrt{b^2+\sigma^2}\)——一个 \(\sigma=3.75\) 的核会把宽度 \(b=3\) 点的峰削去 35% 的高度
Savitzky-Golay 核是"中心点处局部多项式最小二乘"的等价卷积形式：任意 \(p\) 阶多项式零失真通过（多项式保持定理），因此保峰能力远强于高斯，代价是残余噪声高约 36%（同窗口下 \(\sqrt{g}=0.389\) vs \(0.287\)）
特征保护把"线性的、无差别的衰减"变成"非线性的、有选择的保留"：默认 \(\tau = 3\) 时，窄峰峰顶与深谷谷底的像素行与未平滑渲染逐行一致，而噪声带从 65.4 px 收敛到 6.1 px（高斯 + LTTB，900×500 画布实测）

1. 引言：降采样为什么去不掉噪声¶

从上篇文章的命题 1（全局极值保留）可以立即推出一个反直觉的结论：

推论（噪声幸存） 若输入包含随机抖动，则抖动在每个桶内几乎必然产生极值；MinMax 桶保留每桶极值 ⇒ 抖动的极值被完整保留。降采样后的折线不是"更干净"，而是"更少的点、同样的毛刺"。

实测（与前篇相同的 100,000 点频谱、900×500 画布、MinMax 桶降采样）：折线的列包络平均厚度 65.4 像素行——以 1 像素宽的画笔绘制时，这是一条 60 多像素宽的"噪声带"。

为什么不在数据层平滑？两个理由：

数据是资产。采样数据要用于分析、导出、与其他工具互操作；渲染平滑去掉了毛刺，但 data() 里的原始值分毫未动。
渲染层平滑是可逆的。它作用于每次绘制的折线，窗口以"渲染点"计而不是以"采样"计——缩放时窗口的视觉效果恒定（第 6 节论证）。在数据层做固定窗口平滑，放大后平滑强度会发生变化。

Fitted 属性也救不了场：它是插值（样条穿过每一个点），插值精确复现噪声而不是滤除它。真正需要的是一个低通滤波器。

2. 问题形式化¶

2.1 信号模型¶

设降采样后的折线为 \((x_i, \hat{y}_i)\)（\(y\) 是像素行），假设

\[ \hat{y}_i = f(x_i) + \varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2), \quad \text{i.i.d.} \]

其中 \(f\) 是"真实形状"（光滑、低频），\(\varepsilon\) 是渲染噪声（抖动、毛刺）。目标是估计 \(\hat{f} = (\hat{y}_1, \ldots, \hat{y}_n)\)，使均方误差最小。对任意估计器有偏差-方差分解

\[ \mathbb{E}\left[ (\hat{f} - f)^2 \right] = \underbrace{\left( \mathbb{E}[\hat{f}] - f \right)^2}_{\text{偏差}^2} + \underbrace{\operatorname{Var}[\hat{f}]}_{\text{方差}} \]

偏差来自"过度平滑"：峰被削矮、形状变圆——这是不可逆的数据失真；
方差来自"欠平滑"：噪声残余——这是视觉上的毛刺。

两种核分别对应两种权衡：高斯把方差压到最低（偏差更大），Savitzky-Golay 把偏差压到最低（方差更大）。特征保护（第 5 节）则试图同时消除两者：对噪声区取低方差估计，对特征区取零偏差估计。

2.2 线性平移不变滤波器¶

两类核都属于线性平移不变（LSI）滤波器，输出是输入的卷积：

\[ \hat{f}_i = \sum_{j=-m}^{m} c_j\, \hat{y}_{i+j}, \qquad m = \frac{w-1}{2} \]

其中 \(w\) 为奇数窗口。两个基本约束：

直流增益为 1（常数信号不变）：\(\sum_j c_j = 1\)；
零相位（不引入水平偏移）：核对称 \(c_{-j} = c_j\)。

零相位意味着频响为实值偶函数：\(H(\omega) = c_0 + 2\sum_{j=1}^m c_j \cos(j\omega)\)，对输入没有相位失真——峰的位置（保持在其 \(x\) 处）只可能被削矮，不可能被平移。

2.3 频域视角¶

低通滤波的频响刻画：低于截止频率的成分近似不变（\(|H| \approx 1\)），高于截止频率的成分被衰减。两个常用标量：

噪声增益 \(g = \sum_j c_j^2\)：白噪声经滤波后方差变为 \(\sigma^2 g\)（零相位对称核、i.i.d. 假设下由卷积的直接计算得到）。剩余噪声标准差 \(\sigma\sqrt{g}\) 是"噪声抑制"的定量指标；
-3 dB 截止频率：\(|H(f_c)| = 1/\sqrt{2}\)。

两个指标描述同一枚硬币的两面：截止越早（\(f_c\) 小），噪声增益越低。

3. 高斯核平滑（GaussianSmoothing）¶

3.1 定义¶

连续高斯核与 QWT7 的离散化：

\[ G_{\sigma}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\, e^{-t^2 / 2\sigma^2}, \qquad c_j = \frac{e^{-j^2 / 2\sigma^2}}{\sum_{k=-m}^{m} e^{-k^2 / 2\sigma^2}}, \qquad \sigma = \max\left(1,\ \frac{w}{4}\right) \]

分母归一化保证直流增益 1。窗口宽度 \(w = 4\sigma\) 意味着窗口覆盖 \(\pm 2\sigma\)——高斯主体（占全部质量的 95.4%）都在窗内，截断误差可忽略。

3.2 频域性质¶

连续高斯核的傅里叶变换仍是高斯（高斯是傅里叶变换的不动点族）：

\[ \mathcal{F}\left[ G_\sigma \right](f) = e^{-2\pi^2 \sigma^2 f^2} \]

因此 -3 dB 截止频率有闭式解：

\[ f_c = \frac{\sqrt{\ln 2}}{2\pi \sigma} \approx \frac{0.1325}{\sigma} \]

实测（离散核，第 7 节）：\(w=15\)（\(\sigma=3.75\)）时 \(f_c = 0.0394\) 周期/点，与闭式解 0.0353 吻合（离散化的截断让截止略微后移）。为什么研究它：把 1 个"折线点"想成 1 个像素列，\(f_c = 0.0394\) 意味着周期短于约 25 个像素列的结构都会被打薄——这就是"高斯平滑会让窄峰变圆"的定量来源。

3.3 峰值衰减定理：闭式解¶

定理（峰值衰减） 设信号峰是宽度为 \(b\)（标准差）的高斯凸包 \(f(t) = h\, e^{-t^2/2b^2}\)，经过标准差 \(\sigma\) 的高斯核卷积后仍是高斯，宽度相加、面积守恒：

\[ f * G_\sigma (t) = h \cdot \frac{b}{\sqrt{b^2 + \sigma^2}} \cdot \exp\!\left( -\frac{t^2}{2(b^2+\sigma^2)} \right) \]

证明：两个高斯卷积=积的核（\(e^{-u^2/2b^2} e^{-(t-u)^2/2\sigma^2}\) 配方法）即得——方差相加 \(b^2 + \sigma^2\)，归一化常数按 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{b^2+\sigma^2}}\) 收缩。面积（\(\int f = \sqrt{2\pi} b h\)）在卷积下不变，于是高度按宽度比收缩。\(\square\)

推论（峰值保持率）

\[ R(b) = \frac{b}{\sqrt{b^2 + \sigma^2}} \]

窄峰滤波后的高度保持率：高斯理论曲线 vs 实测，Savitzky-Golay 对比

数值（\(w = 15\)，\(\sigma = 3.75\)）：

峰宽 \(b\)（点）	高斯实测	理论	SG \(p=2\)	SG \(p=4\)
1	0.270	0.258	0.368	0.551
2	0.493	0.471	0.667	0.868
3	0.653	0.625	0.847	0.968
5	0.828	0.800	0.965	0.997
8	0.923	0.906	0.993	1.000
12	0.964	0.955	0.999	1.000

宽带为 1–3 点的窄峰（即第 4 节要保护的"特征"）被高斯核削去 35%–73% 的高度——不加以保护时，窄峰不是变圆，而是明显变矮。这就是为什么平滑必须搭配特征保护（第 5 节）。

3.4 尺度空间解释¶

高斯卷积还等价于热扩散方程的一个时间步。设 \(u(t, s)\) 满足

\[ \frac{\partial u}{\partial s} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}, \qquad u(t, 0) = f(t) \]

则 \(u(t, s) = f * G_{\sqrt{s}}(t)\)——对 \(f\) 做标准差 \(\sqrt{s}\) 的高斯卷积，正好是"把信号演化到尺度 \(s\)"。这个视角给出了高斯平滑的深层身份：它是尺度空间滤波，与图像处理中的金字塔、边缘检测的尺度空间理论一脉相承。而 QWT7 的 \(\sigma = w/4\) 只是固定选取了一个演化时间。

3.5 边界处理：镜像延拓¶

折线两端没有邻居，需要延拓。QWT7 采用镜像反射（qwtReflectIndex）：索引出界时按边界点反射

\[ i < \text{lo} \Rightarrow i' = 2\cdot\text{lo} - i, \qquad i \ge \text{hi} \Rightarrow i' = 2(\text{hi}-1) - i \]

以边界采样点本身为轴反射（不复制边界点），等价于对信号做偶延拓：\(y_{-k} = y_k\)。偶延拓在边界处导数为零（Neumann 边界条件），因此平滑后的折线在两端保持水平切线、不会产生阶跃伪影。含 NaN 的点会把折线切段（qwtConvolvePolyline），每段独立卷积；短于窗口的碎段原样通过，不被扭曲。

3.6 计算¶

直接卷积 \(O(n \cdot w)\)。高斯核无特殊结构可复用前缀和（与箱式不同），但 \(n\) 是降采样后的折线长度（通常数千），\(w \le 31\)，开销可忽略；实测 100,000 点频谱完整重绘 ≈ 0.1 ms 量级（第 7 节）。核在每次重绘时重新生成（方差随窗口变化），成本同样可忽略。

4. Savitzky-Golay 核平滑（SavitzkyGolaySmoothing）¶

4.1 历史与直觉¶

Savitzky 与 Golay 1964 年在 Analytical Chemistry 上提出"用滑动窗口最小二乘多项式拟合代替直接卷积"的方法，是光谱学的经典平滑工具。本质洞察：对每个窗口，用阶数为 \(p\) 的多项式在最小二乘意义下拟合全部 \(w\) 个点，取多项式在窗口中心的值作为输出。拟合是线性的 ⇒ 整个操作等价于一个固定核的卷积——系数只依赖 \((w, p)\)，与数据无关，可以预先算好。

4.2 数学推导：从最小二乘到卷积核¶

在窗口 \([-m, m]\) 内拟合 \(p\) 阶多项式

\[ g(t) = \sum_{k=0}^{p} a_k t^k \]

最小二乘目标：

\[ J(\mathbf{a}) = \sum_{j=-m}^{m} \left( \hat{y}_{i+j} - \sum_{k=0}^p a_k j^k \right)^2 \]

令 \(\mathbf{y} = (\hat{y}_{i-m}, \ldots, \hat{y}_{i+m})^\top\)，设计矩阵为 Vandermonde 矩阵 \(V \in \mathbb{R}^{w \times (p+1)}\)：

\[ V = \begin{pmatrix} (-m)^0 & (-m)^1 & \cdots & (-m)^{p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ m^0 & m^1 & \cdots & m^{p} \end{pmatrix} \]

法方程 \(V^\top V \mathbf{a} = V^\top \mathbf{y}\) 给出 \(\mathbf{a} = (V^\top V)^{-1} V^\top \mathbf{y}\)。窗口中心的输出是 \(g(0) = a_0 = \mathbf{e}_1^\top \mathbf{a}\)，即

\[ \hat{f}_i = \underbrace{\mathbf{e}_1^\top (V^\top V)^{-1} V^\top}_{=\, \mathbf{c}^\top} \mathbf{y} \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf{c}^\top = \mathbf{e}_1^\top (V^\top V)^{-1} V^\top \]

结论：SG 平滑 = 卷积核 \(\mathbf{c}\) 的卷积。核只依赖 \((w, p)\)。

QWT7 的实现（qwtSavitzkyGolayKernel）走法方程的矩形式：定义窗口矩

\[ \mu_k = \sum_{j=-m}^{m} j^k, \qquad k = 0, \ldots, 2p \]

则 \((V^\top V)_{kl} = \mu_{k+l}\)（Hankel 矩阵），右端为 \(\mathbf{e}_1\)，解线性方程组 \((V^\top V)\mathbf{a} = \mathbf{e}_1\) 后回代：

\[ c_j = \sum_{k=0}^{p} a_k j^k, \qquad j = -m, \ldots, m \]

4.3 矩条件：奇偶分解与 \(p=2 = p=3\)¶

对称窗口的奇次矩为零：\(\mu_1 = \mu_3 = \cdots = 0\)。因此 \(V^\top V\) 的偶/奇系数块解耦；右端 \(\mathbf{e}_1\) 只落在偶块，于是 \(\mathbf{a}\) 中所有奇次系数为零：SG 核总是偶对称（零相位）。

更妙的推论：\(p=2\) 与 \(p=3\) 给出完全相同的核（只要 \(w \ge 5\)）——三次项系数为零，多一个自由度并不会被使用。实测核（\(w=9\)，\(p=2\) 与 \(p=3\) 逐系数一致，见实验模块）。同理 \(p=0,1\) 都给出移动平均核（一次项在中心点求值为零）。

显式核（取 \(w=5\)，\(p=2\)）：矩 \(\mu_0=5,\ \mu_2=10,\ \mu_4=34\)，法方程

\[ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 34 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; a_0 = \frac{17}{35},\quad a_1 = 0,\quad a_2 = -\frac{1}{7} \]

\[ \mathbf{c} = \frac{1}{35}\,(-3,\ 12,\ 17,\ 12,\ -3) \]

即文献中著名的最小平滑核 \([-3,12,17,12,-3]/35\)。一般窗口的核由第 4.2 节的矩方程数值求解（\(O(p^3)\) 高斯消元，对 \(p \ll w\) 可忽略）。

4.4 多项式保持定理¶

定理（多项式保持） 设输入是 \(p\) 阶多项式 \(f(i) = \sum_{k\le p} \beta_k i^k\)（窗口内任意），SG(\(w, p\)) 输出与输入逐点相同。

证明：\(f\) 本身能被窗口内的 \(p\) 阶多项式精确表示 ⇒ 最小二乘残差为零 ⇒ \(g \equiv f\)，中心点值 \(g(0) = f(0)\)。\(\square\)

推论（峰形保持） 峰顶局部可用 Taylor 展开近似为二次函数：

\[ f(t) \approx f(0) + \frac{f''(0)}{2} t^2 \qquad\text{（一阶项为零，峰顶是临界点）} \]

于是 SG(\(p=2\)) 对峰顶附近的局部形状零失真——这正是它比高斯核保峰的原因（3.3 节的表：同窗口下宽度 3 点的峰，高斯削 35%，SG 只削 15%，阶数提高到 4 时几乎无衰减）。

4.5 噪声增益恒等式¶

SG 的噪声增益有一个漂亮的闭式：

命题对 SG 核，\(\sum_j c_j^2 = c_0\)（核系数的平方和等于中心系数）。

证明：\(\mathbf{c} = V (V^\top V)^{-1} \mathbf{e}_1\)，于是

\[ \sum_j c_j^2 = \mathbf{c}^\top \mathbf{c} = \mathbf{e}_1^\top (V^\top V)^{-1} V^\top V (V^\top V)^{-1} \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_1^\top (V^\top V)^{-1} \mathbf{e}_1 = a_0 = c_0 \]

其中第二步用到 \((V^\top V)^{-1} V^\top V = I\)。\(\square\)

数值验证（实验）：\(w=5\)：\(0.485714 = 17/35\)；\(w=15,\ p=2\)：\(c_0 = 0.151131\)。由此得到残留噪声的闭式：\(\operatorname{Var}(\hat f) = c_0 \sigma^2\)——SG 的中心系数直接告诉你能剩下多少噪声。

4.6 频率响应与低频平坦度¶

由矩条件可推出频响的低频展开。记核的第 \(k\) 阶矩 \(\nu_k = \sum_j c_j j^k\)，多项式保持等价于 \(\nu_k = \delta_{k0}\)（\(0 \le k \le p\)）。于是

\[ H(\omega) = \sum_j c_j e^{-i\omega j} = \sum_{k\ge 0} \frac{(-i\omega)^k}{k!} \nu_k = 1 + \sum_{k \ge p+1} \frac{(-i\omega)^k}{k!} \nu_k \]

对称性使得 \(p+1\) 阶项（奇次）为零，因此对偶数 \(p\)：

\[ H(\omega) = 1 - \frac{\nu_{p+2}}{(p+2)!}\,\omega^{p+2} + O(\omega^{p+4}) \]

即 SG 的频响在低频段"平坦到 \(p+1\) 阶"——这正是多项式保持定理在频域的化身：低频成分（宽峰、趋势）无损通过，直到 \(f^{p+2}\) 阶偏差才出现。

两种核与移动平均（box）的定量对比（\(w = 15\)，实测）：

核	\(\sqrt{g}\)（残留噪声比）	-3 dB 截止（周期/点）
移动平均（= SG \(p=0,1\)）	0.258	0.0295
高斯	0.287	0.0394
SG \(p=2,3\)	0.389	0.0717
SG \(p=4\)	0.475	0.1119

滤波核（左）与频率响应（右）

频率响应 |H(f)|：box 截止最早、SG 最晚

残余噪声 vs 窗口：理论曲线与 Monte Carlo 实测点完全重合

结论：同窗口下，SG 的截止频率几乎是高斯的两倍——它保留了更多高频（峰形），代价是残余噪声高约 36%。把窗口加大即可补回噪声抑制（\(w=31\) 时 SG 的 \(\sqrt{g} = 0.270\)）。

5. 特征保护：非线性后处理¶

任何线性低通滤波器都会衰减比窗口更窄的特征（3.3 节的衰减公式是它的固定代价）。特征保护（setSmoothPreserveThreshold()，默认开启）是一个非线性后处理：先把被削矮的峰、被填平的谷识别出来，再恢复到原始位置与高度。

5.1 算法流程¶

flowchart TD
    A["原始折线 y 与低通结果 ŷ"] --> B["宽基线 B：两遍箱式均值<br/>(窗口 w_b = max(61, 6w)，前缀和 O(n))"]
    B --> C["残差 d_i = y_i - B_i"]
    C --> D["噪声尺度 σ_hat = median |d_i|<br/>(MAD，50% 崩溃点)"]
    D --> E["阈值 τ·σ_hat .. 1.2·τ·σ_hat"]
    E --> F["软阈值混合<br/>ỹ_i = ŷ_i + w_i(y_i - ŷ_i)"]
    F --> G["输出"]

    style B fill:#e8f5e9,stroke:#2ca02c
    style D fill:#fff3e0,stroke:#ff9800

基线。单遍框式均值（box）前后两次（近似高斯核、\(O(n)\)），窗口 \(w_b = \max(61, 6w)\) 足够宽，能跟随"整体形状"（慢变包络），但不跟随窄特征。数学上是信号与三角核（两次 box 卷积 = Bartlett 核）的卷积。

噪声尺度：MAD。残差绝对值的中位数：

\[ \hat{\sigma} = \operatorname*{median}_i \left| y_i - B_i \right| \]

中位数使估计对特征（离群点）稳健：占比少于 50% 的尖峰完全不影响它——这正是"噪声带有多宽"的稳健度量。对纯高斯噪声，\(\operatorname{median}|\varepsilon| = 0.6745\sigma\)，因此阈值 \(\tau \hat{\sigma}\) 对应约 \(0.6745\tau\sigma\)。默认 \(\tau = 3\) 对应约 \(2.02\sigma\)：在纯噪声零假设下，只有约 4.3% 的点会超过阈值被误判为特征。

软阈值混合。对每个点：

\[ w_i = \begin{cases} 0 & |d_i| \le \tau\hat{\sigma} \\[2pt] \dfrac{|d_i| - \tau\hat{\sigma}}{0.2\,\tau\hat{\sigma}} & \tau\hat{\sigma} < |d_i| < 1.2\,\tau\hat{\sigma} \\[2pt] 1 & |d_i| \ge 1.2\,\tau\hat{\sigma} \end{cases} \qquad\qquad \tilde{y}_i = \hat{y}_i + w_i\,(y_i - \hat{y}_i) \]

\(w_i = 0\)：噪声点——取平滑值（方差最低）；
\(w_i = 1\)：特征核心点——完全恢复原始值（零偏差）；
\(0 < w_i < 1\)：过渡带，平滑混合避免硬切换产生台阶。

特征保护流水线四步：基线、残差与阈值、权重、结果

5.2 数学性质¶

逐点不可微、整体连续：权重是 \(|d_i|\) 的分段线性函数 ⇒ 输出对输入连续，但阈值两侧的一阶行为不同——这是有意为之：把"被噪声掩盖的小波动"与"超过噪声幅度数倍的结构"用幅度阈值区分。
估计器家族：它属于收缩估计器（shrinkage）：\(\tilde{y}_i\) 是 \(\hat{y}_i\) 与 \(y_i\) 的凸组合，收缩量随 \(|d_i|\) 单调。思想上与 Donoho 的小波软阈值去噪、鲁棒回归中的 Huber 函数同源——都是用"偏离程度"决定"信任程度"。
与中值/双边滤波的关系：像素域的去噪常用中值滤波或双边滤波（空间近邻 + 值域相似加权）。本方案把"值域相似"换成"偏离宽基线"的显式度量，代价是一个 \(O(n)\) 的基线计算，换来对特征精确恢复（而不是近似保留）。
阈值 \(1.2\) 是软边：源码中过渡带上限取 \(1.2\tau\hat{\sigma}\)（qwt_curve_smoothing.cpp），其动机是让权重从 0 到 1 的过渡宽度与阈值本身成比例——阈值越大，过渡区越宽，越不容易产生孤立的不连续点。

5.3 参数语义与失效模式¶

\(\tau\)	行为
0（关闭）	纯线性低通：峰谷按 3.3 节的公式衰减
1	只保护最显著的峰；多数噪声点仍被平滑（残余毛刺较多）
3（默认）	超过约 \(2\sigma\) 的结构全保留；噪声带收敛为细线
6	中等尖峰也被吸收进平滑；浅特征开始被削

失效模式：① 当噪声尺度被低估（如数据强相关而非 i.i.d.）时，median|d| 偏小 ⇒ 阈值过低 ⇒ 更多噪声点被"恢复"，保护失效；② 基线窗口 \(w_b\) 内若存在宽于基线的真实凸起（如慢变的驼峰），基线会跟随它 ⇒ 驼峰不被当作特征 ⇒ 被平滑 ⇒ 驼峰变矮——这是设计使然（"基线跟随的才是背景"），但使用者应知悉；③ 过渡带内的相邻点权重不同，可能形成肉眼难辨的细微波纹（实测中过渡带只涉及约 1%–2% 的点）。

6. 渲染管线中的位置与顺序¶

flowchart TB
    A["采样数据<br/>(data())"] --> B["降采样<br/>(FilterPointsLTTB ...)"]
    B --> C["渲染平滑<br/>(setSmoothAlgorithm)"]
    C --> D["多边形裁剪<br/>(ClipPolygons)"]
    D --> E["曲线拟合器<br/>(Fitted，可选)"]
    E --> F["QPainter"]

三个设计决策及其理由：

1. 在降采样之后。 平滑的输入是降采样折线（≈ 4W 点），不是原始数据。这使窗口以"渲染点"计，产生一个优雅的性质：缩放不变性。设缩放因子 \(\alpha\)（可见数据范围缩小），折线点数按 \(\alpha\) 增长，窗口覆盖的 \(x\) 跨度按 \(\alpha\) 缩小——\(\sigma = w/4\) 在屏幕空间恒定，因此"平滑多少"不随缩放改变。若在数据域平滑，放大后同样的窗口将覆盖更宽的数据区间、把特征也抹平。

2. 只修改 \(y\)。 卷积作用于值域；\(x\) 坐标原样拷贝。这保证了每个特征的水平位置逐像素精确——峰不会左右漂移。同时避免了水平平滑可能造成的折线自交（\(x\) 非单调化）。

3. 在拟合器之前。 Fitted 样条拿到的是已去噪的折线；插值不再放大噪声（插值复现噪声，见第 1 节）。两者可组合。

该步骤与降采样一样是无状态、可重入的：多线程绘制（QwtPlotDirectPainter、后台打印）无需额外同步。

7. 实验¶

7.1 端到端测量¶

采用 examples/2D/curvesmoothing 的同一数据生成器（100,000 点：慢变包络 + 驼峰 + 三个窄峰 + \(\sigma=0.15\) 白抖动 + 1% 向上尖刺 + 0.8% 向下跌落 + 一个确定的深谷），管线 = MinMax 桶降采样 → 平滑（900×500 画布，像素行度量）：

配置	噪声带平均厚度 (px)	窄峰峰顶行	深谷谷底行
仅降采样（默认）	65.4	0.0	499.0
高斯 \(w=15,\ \tau=3\)	6.1	0.0	499.0
高斯 \(w=15,\ \tau=0\)（纯低通）	4.1	38.5	369.0
SG \(w=15,\ p=2,\ \tau=3\)	11.3	0.0	499.0

100,000 点频谱：降采样默认渲染 vs 高斯平滑（τ=3）vs SG 平滑（τ=3）

三组关键读数：

噪声带 65.4 → 6.1 px（纯低通时甚至 4.1 px）：毛刺收敛为细线；
峰顶行 0.0 / 谷底行 499.0 在 τ=3 时与未平滑渲染逐行一致：特征保护完全恢复了被削矮的部分（对照 τ=0：峰顶掉到 38.5 行、谷底升到 369 行——高度损失 38.5 行与 130 行）。这与示例文档记录的"峰损失 26 px、谷损失 63 px"（900 px 画布）同一现象；
SG 的残余噪声带 11.3 px > 高斯的 6.1 px：方向与理论 \(\sqrt{g}\) 之比（0.389/0.287 = 1.36）一致，实测 1.85× 更大，数值差异来自尖刺/抖动非纯高斯 + 包络统计。

7.2 理论预测 vs 实测¶

量	理论	实测
高斯核残余噪声比 \(\sqrt{g}\)（w=15）	0.287	0.286 ± 0.001（Monte Carlo）
SG 噪声增益恒等式 \(g = c_0\)（w=15, p=2）	0.151131	0.151131
-3dB 截止（高斯 w=15）	0.0353	0.0394
峰保持率 \(R(3)\)（高斯 w=15）	0.625	0.653

（Monte Carlo：40,000 点高斯白噪声经核卷积后标准差比，100% 重合于理论曲线，见图 fig_smooth_noisegain.png。）

所有脚本与数值在 docs/assets/algorithms/（smoothing_experiment.py、figures.py）可复现。

8. 代码实践¶

8.1 API¶

接口	默认	含义
`setSmoothAlgorithm()`	`NoSmoothing`	`GaussianSmoothing` / `SavitzkyGolaySmoothing`
`setSmoothWindow()`	9	窗口内折线点数；奇数 ≥ 3，偶数自动进位
`setSmoothPolynomialOrder()`	3	SG 多项式阶数，钳制在 \(1 \ldots w-2\)
`setSmoothPreserveThreshold()`	3.0	特征保护阈值（×噪声尺度）；0 = 关闭

8.2 完整示例¶

#include <qwt_plot.h>
#include <qwt_plot_curve.h>
#include <qwt_point_data.h>

#include <QApplication>
#include <cmath>
#include <random>

// 1. 生成与示例同构的频谱样本：包络 + 窄峰 + 白抖动
QVector<QPointF> makeSpectrum(int n)
{
    std::mt19937 rng(0xC0FFEE);
    std::normal_distribution<double> jitter(0.0, 0.15);

    QVector<QPointF> v;
    v.reserve(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double y = 1.0 + 0.3 * std::sin(i / 8000.0);
        y += 3.0 * std::exp(-0.5 * std::pow((i - 30000.0) / 5000.0, 2));
        y += 5.0 * std::exp(-0.5 * std::pow((i - 15000.0) / 300.0, 2));  // 窄峰
        y += jitter(rng);                                                // 像素级噪声
        v += QPointF(i, y);
    }
    return v;
}

// 2. 两条曲线：默认渲染 vs 平滑渲染
QwtPlotCurve* makeCurve(QwtPlot* plot, const QVector<QPointF>& samples,
                        QwtPlotCurve::SmoothAlgorithm algo)
{
    QwtPlotCurve* curve = new QwtPlotCurve();
    curve->setSamples(samples);
    curve->setPaintAttribute(QwtPlotCurve::FilterPointsLTTB, true);   // 降采样

    if (algo != QwtPlotCurve::NoSmoothing) {
        curve->setSmoothAlgorithm(algo);
        curve->setSmoothWindow(15);          // 高斯：σ = 3.75
        curve->setSmoothPolynomialOrder(3);  // 仅 SG 生效（2 与 3 等价）
        curve->setSmoothPreserveThreshold(3.0);
    }
    curve->attach(plot);
    return curve;
}

int main(int argc, char** argv)
{
    QApplication app(argc, argv);

    const QVector<QPointF> samples = makeSpectrum(100000);

    QwtPlot plot;
    plot.resize(900, 500);

    QwtPlotCurve* plain = makeCurve(&plot, samples, QwtPlotCurve::NoSmoothing);
    QwtPlotCurve* smooth = makeCurve(&plot, samples, QwtPlotCurve::GaussianSmoothing);
    plain->setPen(QColor("#888888"));
    smooth->setPen(QColor("#1f77b4"));

    plot.replot();
    plot.show();
    return app.exec();
}

效果：左曲线呈现 60 多像素厚的噪声带；右曲线噪声带收敛为 ~6 px 的细线，而三个窄峰的峰顶像素行与左曲线完全相同——数据 data() 未被动过一字。

上面这段代码最小程度复刻了官方示例 examples/2D/curvesmoothing 的用法。官方示例在同一窗口内并排摆下"默认渲染"与"平滑渲染"两幅图，并把全部参数暴露为实时控件：

curvesmoothing 示例：100,000 点噪声频谱的平滑对比

图中（左 → 右）分别是：

左图（plain）：100,000 点频谱走默认管线（FilterPointsLTTB 降采样），噪声呈毛糙的竖直毛边；
右图（smooth）：同样数据 + 渲染平滑，噪声带收敛为细线，窄峰与深谷保持原位；
底部控件：Algorithm（Gaussian / Savitzky-Golay）、Window、SG Order、Preserve（特征保护阈值）、Downsampling（LTTB (default) / Pixel (QCustomPlot style)，用于对比平滑与两种降采样的组合效果），以及 Run Benchmark 按钮（两个图各跑 50 次 replot）；
两图下方的 last 标签分别显示各自最近一次重绘的耗时——可以直接看出平滑的开销在毫秒量级以下（第 7 节实测 0.1 ms）。

对照阅读时建议先只看图的变化再回来看公式：把 Preserve 调到 0，同一个窄峰会立刻"矮一截"，那就是第 3.3 节 \(R(b) = b/\sqrt{b^2+\sigma^2}\) 在屏幕上的样子。

8.3 参数选择指南¶

目标	建议
常规去噪（频谱、采集信号）	高斯，\(w = 9\ldots 21\)，\(\tau = 3\)
保留窄峰形状	SG，\(p = 2\)（= 3），窗口加大到 21–31 补噪声抑制
纯低通（不需要保特征）	\(\tau = 0\)：峰谷会按 \(R(b)\) 衰减，请先量好你的峰宽
噪声很强、峰很弱	先 `FilterPointsPixel` 再平滑（噪声带压到 2.7 px 量级，见示例文档）
交互式调参	`examples/2D/curvesmoothing`：右侧面板随时切换算法/窗口/阶数/阈值并可跑 50 次 replot 基准

窗口的度量单位

窗口以折线点计，不是采样点：降采样后折线 ≈ 4W 点，即窗口 15 覆盖约 4 个像素列的水平跨度。缩放时该跨度随像素比例伸缩——平滑强度在屏幕空间恒定（第 6 节）。

9. 小结¶

降采样保留极值 ⇒ 噪声幸存；渲染平滑在绘制管线中以低通滤波消除噪声，不修改采样数据。
高斯核：\(\sigma=w/4\) 的加权滑动平均，噪声抑制最强（\(\sqrt{g}=0.287\)@w15），峰衰减有闭式 \(R(b)=b/\sqrt{b^2+\sigma^2}\)。
SG 核：局部多项式最小二乘的等价卷积，多项式保持定理保证峰形不塌（\(p=2\) 下宽度 3 点的峰衰减少于 15%），代价是残余噪声高约 36%；矩条件给出 \(p=2=p=3\) 与恒等式 \(g=c_0\)。
特征保护：宽基线 + MAD 噪声尺度 + 软阈值混合，把"无差别衰减"变成"按偏离程度有选择的恢复"；默认 \(\tau=3\) 时峰顶/谷底逐行复原，噪声带 65.4 → 6.1 px（实测）。
整个步骤无状态、可重入、\(O(nw)\) 且 \(n \approx 4W\)——100,000 点频谱上完整重绘仍约 0.1 ms。

10. 参考文献¶

Savitzky, A., Golay, M. J. E. Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures. Analytical Chemistry, 36(8), 1627–1639, 1964.
Steinarsson, S. Downsampling Time Series for Visual Representation. MSc thesis, University of Iceland, 2013.
Donoho, D. L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Transactions on Information Theory, 41(3), 613–627, 1995.
Witkin, A. Scale-space filtering. IJCAI, 1983.
QWT7 源码：src/plot/qwt_curve_smoothing.cpp（核、卷积、特征保护）、src/plot/qwt_plot_curve.cpp（管线、drawLines）。
QWT7 示例：examples/2D/curvesmoothing（100,000 点噪声频谱平滑对比）。

配套阅读： LTTB 降采样算法原理与 QWT7 的 MinMax 桶实现 —— 平滑所看到的折线是如何被压缩出来的。