QwtSpline 样条家族：参数化、精度收敛与渲染代价¶

摘要 —— 屏幕上的"平滑曲线"从来不是数据本身：QWT 把控制多边形交给 QwtSpline 家族，由它决定曲线长什么样、误差多大、以及光栅化器最终要消化多少个顶点。src/plot/qwt_spline*.cpp 的八个源文件提供参数化（均匀/弦长/向心）与六类样条算法（自然三次矩法、Cardinal/PChip/Akima 局部样条、Pleasing、Basis 逼近样条）。推导覆盖三对角矩方程组、插值误差 $O(h^4)$ 定理的证明思路，以及自然边界条件下该定理如何失效。Python 重实现覆盖每个算法，在三条解析参考曲线（圆、S 弯、曲率突变线）上按九档采样密度测量最大几何偏差并拟合收敛阶。渲染代价的解析模型沿 qwt_plot_curve.cpp 的 Fitted 渲染路径与 qwt_bezier.cpp 的 Willcocks 扁平化展开。所有数值来自 docs/assets/algorithms/spline_experiment.py 的真实运行输出；性能结论一律为复杂度/运算量分析，未做墙钟计时。

摘要 — 核心结论

收敛阶实测：自然三次样条在圆与 S 弯上为 4.00–4.07（$O(h^4)$），Cardinal/Pleasing 为 3.14–4.01（依赖数据对称性），PChip 仅 1.99，逼近型 Basis 为 2.00；一个 G2 曲率断点把全部方法压到 2.00–2.16。

自然边界是库默认值（QwtSplineCubic 构造即 Clamped2 = 0），但当 $f''(\text{端点}) \ne 0$ 时它只有二阶：$f=e^x$ 上实测函数误差阶 2.02，且二阶导在端点邻结存在不随 $N$ 消失的 $O(1)$ 边界层，实测振幅 0.2679 与理论值 $(2-\sqrt{3})|f''(a)|$ 逐位吻合。

同一控制点预算下 C2 全局求解比 Catmull-Rom 型 C1 曲线精确约一个数量级：圆 $N=64$ 时 Cubic 2.425e-07 对 Catmull-Rom 2.176e-06（8.97 倍）；而均匀参数化下 Catmull-Rom、Cardinal、Pleasing 三者控制点逐位相同（差 0 / 5.551e-17）。

参数化决定几何安全：发夹稀疏采样案例中弦长参数化产生自交环（过冲 0.1689），向心参数化无环且过冲 0.0076（22.5 倍差距）；机制是长边末端切向量被放大到 1.544（向心仅 0.209），而下一条边只有 0.1 长且方向相反。

渲染代价解析：控制点计算全部 $O(N)$（Cubic 两次三对角求解约 33N flop，Cardinal 约 22N），Bezier 扁平化点数 $\propto \sqrt{\kappa/\varepsilon}$，实测斜率 −0.479（理论 −0.5）；屏幕尺度（$R=200$ px、tol 0.5 px）下 Fitted 属性把多边形放大 4.06 倍（$N=16$）到 1.02 倍（$N=64$），但 Fitted 会强制 from=0, to=N-1 放弃可见区间裁剪。

1. 引言：一条曲线的两个消费者¶

1.1 问题陈述与形式化¶

给定控制多边形 $P = \{p_i\}_{i=0}^{n-1}$（屏幕或数据坐标），样条算法输出一条分段三次曲线 $\Gamma$。QWT 中 $\Gamma$ 有两种存在形式：QPainterPath（$n-1$ 段三次 Bezier，交给 Qt 光栅化器自行细分），或显式多边形 QPolygonF（QwtSpline::polygon(points, tolerance)，按给定容差把 Bezier 折线化）。度量取最大几何偏差

\[ d_{\max}(\Gamma, C) = \max_{u} \; \mathrm{dist}\big(\Gamma(u),\, C\big) \]

其中 $C$ 是解析参考曲线（实验用圆、$y=\sin x$、直线-圆弧 G1 拼接的曲率突变线），$\Gamma$ 按每段 24–96 点密采样后取最坏点。收敛阶定义为 $d_{\max} = O(h^p)$，$h$ 为控制多边形平均弦长；对双对数序列做最小二乘拟合得到实测 $p$。

与降采样问题（见《LTTB 降采样》篇）不同，样条面对的是稀疏输入：控制点少于像素时，曲线形状完全由算法的先验（连续性阶、参数化、边界条件）决定。同一个 $N=12$ 的圆，实测的四种算法给出的偏差从 $2.1\times10^{-4}$（Cubic）一路跨到 $4.5\times10^{-2}$（Basis），相差 214 倍，而 Cardinal 与 Pleasing 的结果肉眼无法区分，差别全在下面三个自由度里：连续性阶（G1/C1/C2）、参数化、边界条件。

1.2 QWT 中的两条消费路径¶

第一条是 QwtPlotCurve 的 Fitted 属性：drawCurve() 在 Lines 样式下检测到 Fitted 后把绘制区间强制扩到全量数据（src/plot/qwt_plot_curve.cpp:548-553，注释原文 "we always need the complete curve for fitting"），再经 drawLines() 交给 QwtCurveFitter。默认 fitter 是 QwtSplineCurveFitter，内部持有一个使用 Cardinal + 均匀参数化的 QwtSplineLocal，模式为 Path（src/plot/qwt_spline_curve_fitter.cpp:39-43）。第二条是直接 API：painterPath()、bezierControlLines()、polygon(points, tolerance)、equidistantPolygon(points, distance, withNodes)，示例 examples/2D/splineeditor 的 SplineFitter::fitCurve() 走的就是 m_spline->polygon(points, 0.5)（examples/2D/splineeditor/Plot.cpp:162）。

1.3 家族总览¶

src/plot/ 下的样条源文件共八对：qwt_spline（基类与 C1/C2 中间层）、qwt_spline_parametrization、qwt_spline_polynomial、qwt_spline_cubic、qwt_spline_local、qwt_spline_pleasing、qwt_spline_basis、qwt_spline_curve_fitter。仓库中不存在名为 QwtSplineHermite 的类：Hermite 结构体现在 QwtSplinePolynomial::fromSlopes() 里。

类	连续性	locality	默认参数化	默认边界	过控制点
`QwtSplineCubic`	C2	0（全局）	ParameterX（继承自 `QwtSplineC1` 构造）	自然（`Clamped2 = 0` 两端）	是
`QwtSplineLocal::Cardinal`	C1	1	ParameterX	`LinearRunout = 0`	是
`QwtSplineLocal::ParabolicBlending`	C1	1	ParameterX	`LinearRunout = 0`	是
`QwtSplineLocal::PChip`	C1	1	ParameterX	`LinearRunout = 0`	是
`QwtSplineLocal::Akima`	C1	2	ParameterX	`LinearRunout = 0`	是
`QwtSplinePleasing`	G1	2	ParameterUniform（自有构造）	无（张力规则）	是
`QwtSplineBasis`	C2（逼近）	2	ParameterChordal（`QwtSpline` 基类默认）	条件边界/闭合	否

classDiagram
    class QwtSpline {
        +polygon(points, tolerance)
        +painterPath(points)
        +locality()
        +setParametrization(type)
        +setBoundaryCondition(pos, cond)
    }
    class QwtSplineInterpolating {
        +equidistantPolygon(points, dist, withNodes)
        +bezierControlLines(points)
    }
    class QwtSplineG1
    class QwtSplineC1 {
        +slopes(points)
        +slopeAtBeginning(points, slopeNext)
        +slopeAtEnd(points, slopeBefore)
    }
    class QwtSplineC2 {
        +curvatures(points)
    }
    class QwtSplineLocal {
        "Cardinal / ParabolicBlending / Akima / PChip"
    }
    class QwtSplineCubic {
        +slopes(points)
        +curvatures(points)
    }
    class QwtSplinePleasing
    class QwtSplineBasis
    QwtSpline <|-- QwtSplineInterpolating
    QwtSplineInterpolating <|-- QwtSplineG1
    QwtSplineG1 <|-- QwtSplineC1
    QwtSplineC1 <|-- QwtSplineC2
    QwtSplineC1 <|-- QwtSplineLocal
    QwtSplineC2 <|-- QwtSplineCubic
    QwtSplineG1 <|-- QwtSplinePleasing
    QwtSpline <|-- QwtSplineBasis

继承链传达的是计算契约：QwtSplineC1 要求子类给出节点一阶导（slopes()），QwtSplineC2 要求给出二阶导（curvatures()），Bezier 控制点统一由 Hermite 关系 $c_1 = p_i + m_i \Delta t_i/3$、$c_2 = p_{i+1} - m_{i+1} \Delta t_i/3$ 生成（qwt_spline.cpp 的 qwtSplineC1PathParamX/Parametric）。QwtSplinePleasing 停在 QwtSplineG1，因为它只保证切向共线、不保证切向量相等；QwtSplineBasis 直接挂在 QwtSpline 下，因为它根本不插值。

2. 参数化：被低估的自由度¶

2.1 六种增量¶

QwtSplineParametrization 把参数化抽象为相邻控制点的增量函数（src/plot/qwt_spline_parametrization.h:154-228），参数值累加得到节点序列 $t_0 = 0,\ t_i = t_{i-1} + \Delta t_i$：

类型	增量 $\Delta t_i$	源码函数	备注
`ParameterX`	$x_{i+1}-x_i$	`valueIncrementX`	非参数化，要求 $x$ 单调
`ParameterY`	$y_{i+1}-y_i$	`valueIncrementY`	交换坐标的非参数化
`ParameterUniform`	$1$	`valueIncrementUniform`	最快，假设等速采样
`ParameterChordal`	$\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$	`valueIncrementChordal`	弧长的一阶近似
`ParameterCentripetal`	$\left(\Delta x^2+\Delta y^2\right)^{1/4}$	`valueIncrementCentripetal`	弦长开方，$\alpha=0.5$
`ParameterManhattan`	$\lvert\Delta x\rvert+\lvert\Delta y\rvert$	`valueIncrementManhattan`	比弦长快、通常更差

弦长、向心与均匀三者构成幂族 $\Delta t = \lvert\Delta p\rvert^{\alpha}$（$\alpha = 1, 0.5$；均匀可视为 $\alpha = 0$）。基类 QwtSpline 的默认是弦长（qwt_spline.cpp:427），但 QwtSplineC1 的构造函数把它改写为 ParameterX（qwt_spline.cpp:948-951），因此 Cubic 与 Local 的出厂默认是非参数化；QwtSplinePleasing 的构造函数再改写为 ParameterUniform（qwt_spline_pleasing.cpp:263-266）。

2.2 仿射等价：等距采样时三者合一¶

幂族参数化之间只差一个逐段权重。当控制点等距时（圆按等角采样），弦长、向心、均匀三者的增量序列都是常数序列，彼此相差一个全局仿射变换 $t \mapsto at+b$，而样条方程在仿射重参数化下几何不变。实测证实：等距圆 $N=16$ 上 cubic[uniform] 与 cubic[chordal]、cubic[centripetal] 的 Bezier 控制点最大差为 2.220e-16；均匀 $x$ 采样的正弦曲线上 cubic[x] 与 cubic[uniform] 差 4.441e-16。参数化的差异只在间距不均时才显现，这既是它的价值所在，也是它的陷阱所在。

参数化的代码入口是 qwtSplineC1PathParametric()（qwt_spline.cpp:261-380）：先累加增量得到 $t_i$，把数据拆成两个标量序列 $(t_i, x_i)$ 与 $(t_i, y_i)$，对二者各调用一次 slopes()，再按 Hermite 关系组装 Bezier 控制点。因此，参数化样条就是两次标量样条求解；参数化只通过 $t$ 间距进入三对角矩阵或斜率规则。ParameterX/ParameterY 走单解的特化路径（qwtSplineC1PathParamX/ParamY），ParameterY 通过翻转坐标实现。

2.3 弦长为何起环：切向量的放大机制¶

节点 $i$ 处的切向量（以 Cardinal 型规则为例，三次样条的矩方程具有相同的结构）为

\[ m_i = \frac{p_{i+1}-p_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}, \qquad \text{Bezier 臂} \; a = m_i \cdot \frac{\Delta t_i}{3} \]

考虑发夹形稀疏采样：一条长边 $L$ 之后接两条短边 $S_1 = 0.1 L$、$S_2 = 0.05 L$，方向反转约 170°。此时 $p_{i+1}-p_{i-1}$ 的量级由长边主导（$\approx L$），而分母与分子中的 $\Delta t$ 如何分配完全由参数化决定：弦长把全部权重交给几何长度，使得三对角方程中相邻行的 $h$ 之比达到 $1 : 0.1 : 0.05$，矩（从而切向量）在间距断崖处被剧烈放大；向心参数化把间距比压缩为 $1 : \sqrt{0.1} : \sqrt{0.05}$，放大随之减弱；均匀参数化抹平间距但完全无视几何，在另一类数据（间距反映真实速度）上反过来出错。

实测（脚本 [4] 节，96 点/段密采样，自交检测为线段两两求交）：在上述发夹四点 $(0,0), (1,0), (0.901519, 0.017365), (0.910202, 0.066605)$ 上，长边末端切向量幅值 $\lvert S'(p_1)\rvert$ 为弦长 1.544、均匀 0.400、向心 0.209，而下一条边只有 0.1 长且方向几乎相反。切向量 1.544 意味着 Bezier 在离开拐角前先沿旧方向冲出约 0.17 再折返；弦长参数化的曲线因此自交（loops = 1，过冲 0.1689）；向心参数化过冲 0.0076 且无环，差距 22.5 倍。在 1260 个发夹构型的确定性网格搜索中，满足"弦长起环且向心干净"的构型有 33 个。这与 Piegl & Tiller 与 Farin 对弦长参数化在急转处产生环/尖点的警告、以及 Lee 关于向心参数化避免此类缺陷的结论一致（见参考文献 2–4）。

把切向量放大写成 Bezier 臂长与边长之比更直观。离开节点 $i$ 的边 $e_i$ 上，第一控制臂满足恒等式

\[ \frac{a_i}{\lvert e_i\rvert} = \frac{\lvert m_i\rvert\, \Delta t_i}{3\, \lvert e_i\rvert} \]

发夹案例中长边末端臂的实测比值为弦长 0.51、均匀 0.13、向心 0.07，对应末端切向量幅值 $\lvert S'(p_1)\rvert = 1.544 / 0.400 / 0.209$，而下一条边只有 0.100 长且方向几乎相反。起始切向远超边长且反向的三次 Bezier 必先冲出控制多边形再折回，自交是这一过程的极端形态；向心参数化把间距比 $\rho$ 压缩为 $\sqrt{\rho}$，使同一节点的切向幅值降到弦长情形的 1/7.39。

均匀参数化并非安全选项：在 20 个"长臂+短臂拐角"构型中，cubic[uniform] 在 9 个构型上起环（如转角 120°、臂比 0.05 时过冲 0.0437 且 loops = 1），而同一构型上弦长过冲 0.2703 无环、向心 0.0509 无环；三种参数化的失效区域互不重合，这正是家族把选择权交给用户的原因。

三种参数化下的自然三次样条：发夹稀疏采样的环与过冲

3. 数学推导¶

3.1 三次样条的矩法：三对角方程组完整推导¶

记节点 $x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1}$（非参数化情形；参数化情形把 $x$ 换成 $t$）、$h_i = x_{i+1}-x_i$、$s_i = (y_{i+1}-y_i)/h_i$、$M_i = S''(x_i)$。$S''$ 在每段上线性：

\[ S''(x) = M_i \frac{x_{i+1}-x}{h_i} + M_{i+1} \frac{x-x_i}{h_i}, \quad x \in [x_i, x_{i+1}] \]

积分两次并用 $S(x_i)=y_i$、$S(x_{i+1})=y_{i+1}$ 定出积分常数，得到矩形式的分段表达式；对其求导可得段内两端的一阶导：

\[ S'(x_i^+) = s_i - \frac{h_i}{6}\left(2M_i + M_{i+1}\right), \qquad S'(x_{i+1}^-) = s_i + \frac{h_i}{6}\left(M_i + 2M_{i+1}\right) \]

C2 连续性要求内节点处左右一阶导相等，即 $S'(x_i^-) = S'(x_i^+)$，代入相邻两段的表达式并整理：

\[ h_{i-1} M_{i-1} + 2\left(h_{i-1}+h_i\right) M_i + h_i M_{i+1} = 6\left(s_i - s_{i-1}\right), \quad i = 1,\dots,n-2 \]

这是关于 $M$ 的三对角方程组：主对角 $2(h_{i-1}+h_i)$ 严格大于副对角之和 $h_{i-1}+h_i$，矩阵严格对角占优，解存在唯一，Thomas 消元 $O(n)$。自然边界即 $M_0 = M_{n-1} = 0$，对应"端点二阶导为零"；QwtSplineCubic 的构造函数正是如此设置（qwt_spline_cubic.cpp:924-933，Clamped2 且值为 0）。

源码以 $b_i = M_i/2$ 为未知量书写同一方程组：Equation3 的系数为 $p=h_1,\ q=2(h_1+h_2),\ u=h_2,\ r=3(s_2-s_1)$（qwt_spline_cubic.cpp:278-290），即上式除以 2。SlopeStore 的存斜率公式 $m = s - h(2b_1+b_2)/3$ 与 $m = s + h(b_1+2b_2)/3$（qwt_spline_cubic.cpp:141-174）与上面两个一阶导公式在 $b=M/2$ 下逐位等价。边界条件族由 qwtSetupEndEquations() 统一翻译成首末两行的 $(p,q,u,r)$（qwt_spline_cubic.cpp:756-908）：Clamped1 给一阶导、Clamped2 给二阶导、Clamped3 给三阶导（parabolic runout）、LinearRunout 把端点斜率向邻段斜率松弛、CubicRunout 与 NotAKnot 用虚设点延拓。

3.2 插值误差阶：定理、证明思路与自然边界的失效¶

定理（经典，Ahlberg–Nilson–Walsh；de Boor） 设 $f \in C^4[a,b]$，$S$ 为在均匀网格 $h$ 上插值 $f$ 的三次样条，边界为完备（给定 $f'$）、周期或 not-a-knot 之一，则

\[ \lVert f - S \rVert_\infty \le \frac{5}{384} \lVert f^{(4)} \rVert_\infty h^4, \qquad \lVert f'' - S'' \rVert_\infty \le \frac{3}{8} \lVert f^{(4)} \rVert_\infty h^2 \]

一阶导误差为 $O(h^3)$。

证明思路：把 $M = f'' + e$ 代入矩方程。利用 Taylor 展开，右端 $6(s_i-s_{i-1})/h$ 与左端以真值代入的差为 $\frac{h^2}{12} f^{(4)}(x_i) + O(h^4)$，于是 $e$ 满足 $(e_{i-1}+4e_i+e_{i+1})/6 = -\frac{h^2}{12} f^{(4)}(x_i) + O(h^4)$ 加边界缺陷项。矩阵 $A = \mathrm{tridiag}(1,4,1)/6$ 的副对角元为正，不是 M-矩阵，正性论证不能直接施加；作符号翻转 $\hat e_i = (-1)^i e_i$，则 $\hat e$ 满足 $\hat A \hat e = -\frac{h^2}{12} D f^{(4)} + O(h^4)$ 加边界缺陷项，其中 $\hat A = \mathrm{tridiag}(-1,4,-1)/6$、$D$ 为 $(-1)^i$ 的对角阵。$\hat A$ 严格对角占优（$4/6 > 1/6+1/6$）且非对角元非正，是 M-矩阵，$\hat A^{-1} \ge 0$；行和向量 $v = \hat A^{-1}\mathbf{1}$ 解 $\hat A v = \mathbf{1}$，而 $\hat A(3\mathbf{1}) \ge \mathbf{1}$（内部行和 $3 \times \frac{1}{3} = 1$，边界行更大），比较原理给出 $\lVert \hat A^{-1}\rVert_\infty = \lVert v\rVert_\infty \le 3$（内部行和随网格加密趋于 3，周期边界时恰为 3），故 $\lVert e\rVert_\infty = \lVert \hat e\rVert_\infty \le \frac{h^2}{4}\lVert f^{(4)}\rVert_\infty + $ 边界项；完备/周期边界的缺陷同为 $O(h^2)$，得二阶导估计。再在每段上用 $e(x_i)=e(x_{i+1})=0$ 与 $\lvert (f-S)''\rvert \le \lVert e\rVert_\infty$ 二次积分：$\lvert f-S\rvert \le \frac{h^2}{8}\lVert (f-S)''\rVert_\infty = O(h^4)$。该论证给出的常数 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$ 不是最优常数；最优常数 $5/384$ 与 $3/8$ 需对 Green 函数逐段精细估计，此处从略。

自然边界不满足定理条件：$M_0 = 0$ 而 $f''(x_0) \ne 0$，端点处 $e_0 = -f''(x_0) = O(1)$。$A$ 的 Green 函数按 $r = -2+\sqrt{3}$ 几何衰减，故 $e_1 \approx r \cdot e_0$ 是一个与 $h$ 无关的常数边界层，$\lVert S''-f''\rVert_\infty = O(1)$ 不收敛；函数误差经两次积分退化为 $O(h^2)$。脚本 [2] 节的实测与此逐位吻合：$f=e^x$ 上函数误差阶 2.02（$N=32$ 时 1.388e-04，$N=1024$ 时 1.172e-07），$\lvert S''-f''\rvert$ 在第一个内节点处 $N=64$ 与 $N=512$ 均为 0.2679，恰等于理论层幅 $(2-\sqrt{3})\lvert f''(a)\rvert = 0.2679$；$f = x^2+\sin 3x$ 上对应 0.5358/0.5359 对理论 0.5359。

警告 — 库默认是自然边界

QwtSplineCubic 出厂即 Clamped2 = 0。对端点曲率非零的数据（绝大多数工程曲线），函数误差只有二阶、二阶导在端点附近不收敛。需要四阶精度时应显式 setBoundaryConditions(QwtSplineC2::NotAKnot) 或用 Clamped1 提供端点斜率。5.2 节测得 4.05 阶是因为正弦测试在 $[0, 2\pi]$ 上恰有 $f''=0$ 于两端、圆用的是周期边界，这两个"幸运"情形不可外推。

3.3 局部 C1 样条：斜率规则与 locality¶

QwtSplineLocal 的四种算法都是"看一眼邻居定斜率"的单遍规则（qwt_spline_local.cpp），区别只在加权方式：

算法	内节点斜率 $m_i$	源码	locality
Cardinal	$(\Delta y_{i-1}+\Delta y_i)/(\Delta t_{i-1}+\Delta t_i)$	`qwtSlopeCardinal:48`	1
ParabolicBlending	$(\Delta t_i s_{i-1} + \Delta t_{i-1} s_i)/(\Delta t_{i-1}+\Delta t_i)$	`qwtSlopeParabolicBlending:56`	1
PChip	单调时 $3 s_{i-1} s_i/(s_{i-1}+s_i+s_{12})$，否则 $0$	`qwtSlopePChip:64`	1
Akima	$(s_2 \lvert s_4-s_3\rvert + s_3 \lvert s_2-s_1\rvert)/(\lvert s_2-s_1\rvert+\lvert s_4-s_3\rvert)$	`qwtSlopeAkima:200`	2

（$s$ 为段斜率，Akima 用四个相邻段斜率；两端以 $0.5 s$ 的虚设段延拓，见 qwtSplineAkima:352-354。）默认边界 LinearRunout = 0 经 slopeBoundary()（qwt_spline.cpp:154-191）退化为"端点斜率 = 首/末段斜率"。locality 的语义是修改一个控制点只影响前后各 1（或 2）段多项式，因此局部样条天然支持增量重算；QwtSplineCubic 的 locality 为 0，任何改动都要重解全局方程组（qwt_spline_cubic.cpp:950-953）。

收敛阶由斜率截差决定：Hermite 插值在精确切向下是 $O(h^4)$，斜率误差 $\varepsilon$ 贡献 $O(\varepsilon h)$。Cardinal 的中心差分切向误差 $O(h^2)$，故一般数据上 $O(h^3)$：正弦曲线上实测 3.35（弦长）/3.24（向心）；等距圆上却测得 4.01，因为圆的对称性使切向误差只落在切向分量上、对径向偏差的贡献被抵消（超收敛，不可当作一般结论）。PChip 在极值邻结强制 $m=0$，而真实斜率为 $O(h)$，截差 $O(h)$ 把阶数压到实测 1.99；Akima 的权重含 $\lvert \Delta s\rvert \propto \lvert f''\rvert h$，引入 $O(h^2)$ 偏置，实测 2.52，低于 $O(\varepsilon h)$ 规则预期的三阶，是因为正弦拐点邻结 $\lvert f''\rvert \to 0$ 使权重退化，机理见 6.2 节第 5 条。这些都不是实现缺陷，而是形状保持（PChip）与抗噪加权（Akima）付出的渐近代价。

3.4 Pleasing：带张力规则的 G1 样条¶

QwtSplinePleasing 是"某办公套件的曲线算法"（头文件注释），结构上仍是 Cardinal 型切向 $v_i = \Delta t_2 (p_{i+1}-p_{i-1})/(\Delta t_1+\Delta t_2)$，但每段的 Bezier 臂要乘一个张力系数 $(t_1, t_2)$，由 qwtTensionPleasing()（qwt_spline_pleasing.cpp:141-166）按三个弦长的比较给出：正常情形 $t_1=t_2=1/3$（此时臂 $= v/3$，与 Catmull-Rom 完全一致）；当 $d_{13}/3 < d_{23}$ 与 $d_{24}/3 < d_{23}$ 均不成立（窄角）时，把张力缩为 $d_{23}/d_{13}$、$d_{23}/d_{24}$，即按"本段弦长占邻接弦长的比例"收紧控制臂，抑制急转处的甩出。规则在窄角处切换，切向量不再连续，故连续性只有 G1，这是"好看"换"光滑"的明确交易。实测在光滑等距数据上 Pleasing 与 Catmull-Rom 的控制点差为 5.551e-17（圆）/1.110e-16（正弦），即正常分支与 Catmull-Rom 逐位同构。

3.5 Basis：不过控制点的逼近样条¶

QwtSplineBasis 用均匀三次 B 样条基把控制点"平滑地串起来"：均匀参数化下第 $i$ 段的 Bezier 控制点为 $(p_{i-1}+2p_i)/3$、$(2p_i+p_{i+1})/3$，段连接点取二者中点（qwt_spline_basis.cpp:86-130）；非均匀参数化版本按增量加权（qwt_spline_basis.cpp:132-225）。曲线只穿过首末点（条件边界），内点被平均掉：把控制点取为 $f$ 的采样时，该构造等价于一个低通拟插值算子，误差主项 $O(h^2)$。实测收敛阶圆 2.00、正弦 1.99，$N=24$ 正弦上曲线偏离控制点最大 1.231e-02、偏离真曲线最大 1.237e-02。它的价值是 C2 光滑与对噪声的不敏感，不是精度：5.4 节会看到在圆上它甚至不如直接连控制多边形。

QwtSpline 家族在三条参考曲线上的稀疏采样表现

4. 工程实现剖析¶

4.1 QwtSplineCubic：一次后向消元 + 一次前代¶

EquationSystem::resolve()（qwt_spline_cubic.cpp:414-508）不显式存矩阵：substituteSpline()（511-538 行）从倒数第二行向第 2 行做后向消元，把每个三未知方程约化为只含 $(b_{i-1}, b_i)$ 的 Equation2 链（即 Thomas 消元的变体，比值 $v = p/q$ 因对角占优而 $|v|<1$，数值稳定），resolveSpline()（540-554 行）再前代逐点出解并顺手经 SlopeStore 写出斜率：一趟完成"解矩 + 出斜率"，避免 QwtSplineC2::slopes() 那种"先解矩再回代"的两趟开销（头注释明确说明这一动机，qwt_spline_cubic.cpp:956-967）。周期/闭合边界走 EquationSystem2（562-753 行）：利用 $b_0 = b_{n-1}$ 把循环三对角约化为两个双未知方程，仍是 $O(n)$。KAHAN 与 SLOPES_INCREMENTAL 两个编译开关默认关闭（33-34 行），即默认不做补偿求和。

参数化模式下这一切发生两次（$x(t)$ 与 $y(t)$），外加 $n$ 次增量计算（弦长/向心各含一次 sqrt）。这就是 4.5 节表中 Cubic 参数化约 33N flop 的来历。

4.2 局部样条、Pleasing、Basis：单遍、无求解¶

qwtSplineL1()（qwt_spline_local.cpp:242-282）是一个滑动窗口循环：维护 $(\Delta t, \Delta y, s, m)$ 四个滚动量，每节点一次规则求值、一次 addCubic。Akima 多维护一个段斜率（337-375 行）。Pleasing 每段三次弦长（qwtChordalLength）加张力分支；4.5 节表的每段 3 次开方即按此口径估计，稳态循环中每段实际只新算 2 个弦长，第 3 个复用上一段结果（qwt_spline_pleasing.cpp:212-213）。Basis 均匀路径每段约六次点加/数乘、无除法无开方。四者的共同点是 locality ≤ 2：理论上可以只重算受影响窗口，但当前 API 仍以整条多边形为输入（增量重算留给调用方缓存）。

4.3 渲染路径：Fitted 属性的真实代价链¶

flowchart TD
    A["QwtPlotCurve::drawCurve, style = Lines"] --> B{"Fitted 属性开启?"}
    B -->|"是"| C["from = 0, to = dataSize()-1<br/>qwt_plot_curve.cpp:548-553"]
    B -->|"否"| D["可见区间 from..to"]
    C --> E["QwtPointMapper::toPolygonF<br/>优先级 Pixel 大于 LTTB 大于 MinMax 大于 Quad 大于 Weed"]
    D --> E
    E --> F["渲染平滑 Gaussian 或 Savitzky-Golay<br/>qwt_plot_curve.cpp:631-635"]
    F --> G{"doFit 且 fitter 模式"}
    G -->|"Path, 默认"| H["spline painterPath 后 QPainter::drawPath<br/>Qt 光栅化器自行细分 Bezier"]
    G -->|"Polygon 或填充"| I["fitCurve 折线化<br/>toSubpathPolygons 或 polygon tol"]
    H --> J["光栅化"]
    I --> J

其一，doAlign = !doFit && roundingAlignment（596 行）：开启 Fitted 后像素对齐取整被禁用，拟合在浮点像素坐标上进行，这对导出与抗锯齿是好事。其二，全量区间扩张并不总是意味着全量变换：默认绘制属性含 FilterPointsLTTB（PrivateData 初始化，qwt_plot_curve.cpp:78-91），自 v7.5.0 起它是真 LTTB 归约 qwtLttbReduce（qwt_point_mapper.cpp:877-885），同样先做可见区间二分裁剪（调 qwtFindVisibleRange），于是 fitter 实际拿到的是"可见窗口内约 $4W$ 个桶代表点"（$4\times$ 像素列数、每桶 1 点）；只有在不带降采样属性的路径（qwtToPointsF(qwtInvalidRect, ...)）上，Fitted 才真正变换并拟合全部 $N$ 点。其三，改用 MinMax 桶（FilterPointsMinMaxLTTB，v7.4.2 及之前的 FilterPointsLTTB 默认）时，fitter 的输入变成桶极值折线：锯齿状极值对会被样条当作控制点忠实穿过，C2 样条尤其会把桶间锯齿放大成可见波纹，这是 Fitted 与降采样组合时的结构性风险，未做像素级量化，列为失效模式待复核项。

4.4 QwtBezier：Willcocks 扁平化与点数放大¶

QwtSpline::polygon(points, tolerance) 与 QwtSplineInterpolating::polygon() 把 Bezier 链折线化，终止判据来自 Willcocks 的平坦度（src/core/qwt_bezier.cpp:57-73）：

\[ F = \max(u_x^2, v_x^2) + \max(u_y^2, v_y^2), \quad u = 3c_1 - 2p_1 - p_2, \quad v = 3c_2 - 2p_2 - p_1 \]

阈值预计算为 $16\,\varepsilon^2$（minFlatness，48-55 行），递归 de Casteljau 二分改为显式栈迭代（183-215 行）。对曲率 $\kappa$、弧长 $\ell$ 的段，$F \propto (\kappa \ell^2)^2$，每次二分 $F$ 降为 $1/16$；要求弦偏差 $\le \varepsilon$ 等价于段长 $\le \sqrt{8\varepsilon/\kappa}$，故整条曲线的折线点数

\[ n_{\text{poly}} \approx \sum_i \ell_i \sqrt{\frac{\kappa_i}{8\,\varepsilon}} \;=\; L\sqrt{\frac{\bar\kappa}{8\,\varepsilon}} \]

即对容差是 $-1/2$ 次幂、对曲率是 $+1/2$ 次幂。换算到单段 Bezier：设段曲率 $\kappa$、弧长 $\ell$，平坦度 $F \propto (\kappa \ell^2)^2$ 每次二分降为 $1/16$，停止条件 $F/16^k < 16\varepsilon^2$ 给出叶子数 $2^k = \left(F/(16\varepsilon^2)\right)^{1/4} \propto \ell\sqrt{\kappa/\varepsilon}$，与全局式自洽。5.5 节实测斜率 −0.479 验证了这一解析形式。

4.5 复杂度汇总（解析估计，非实测）¶

算法	每点运算量（flop 估计）	开方/段	三对角求解	locality
Cubic [x]	~15N（求解 8N + 组装 7N）	0	1 次标量	0
Cubic [弦长/向心]	~33N（2 次求解 + N 次 sqrt）	1	2 次标量	0
Cardinal	~22N	0	0	1
PChip	~34N	0	0	1
Akima	~38N	0	0	2
Pleasing	~33N	3	0	2
Basis [uniform]	~24N	0	0	2

按此估计，$N=10^6$ 时 Cubic[弦长] 约 33 Mflop、Cardinal 约 22 Mflop、Basis 约 24 Mflop，同一量级，差别在常数；真正的量级差来自 locality：Cubic 改一个点要重付全部 33N，局部样条理论上只付窗口代价。叠加扁平化后，Fitted 链的总顶点数约为 $\max(n',\, L\sqrt{\bar\kappa/(8\varepsilon)})$，$n'$ 为 fitter 输入折线点数。

说明 — 本节与 5.5 节均为分析结论

本轮实验环境并行运行其他任务，墙钟计时不可信，故全文不做 C++ 计时。上表为按源码指令结构清点的运算量估计；仓库自带的 tests/splineprof/main.cpp 用 QElapsedTimer 对 $10^7$ 点扫六种参数化 × 五种样条，是官方计时工具，但未接入 CMake（与 tests/splinetest 同属开发期工具，splinetest 用于核对各边界条件下斜率/多项式的一致性）。需要实测数字时应在隔离机器上运行 splineprof。

5. 实验¶

5.1 设计¶

docs/assets/algorithms/spline_experiment.py（Python 3.11 + numpy + matplotlib，Agg 后端，无随机性，固定种子常量）忠实重实现了：自然/周期矩法三次样条（Thomas 消元 + 循环三对角）、Cardinal/PChip/Akima 斜率规则（含 LinearRunout=0 边界与 Akima 虚设段）、Pleasing 的张力规则（开/闭两分支）、Basis 的均匀与参数化路径、Catmull-Rom 转 Bezier 基线、以及 Willcocks 扁平化的栈式细分。参考曲线三条：单位圆（闭，等角采样）、$y=\sin x$（开，等 $x$ 采样）、直线-单位圆弧 G1 拼接的曲率突变线（开，等弧长采样，G2 断点在弧长 1.5 处）。偏差度量用解析距离：圆为 $\lvert \lVert p\rVert - 1\rvert$，正弦为法向距离 $\lvert y-\sin x\rvert/\sqrt{1+\cos^2 x}$，突变线为"到直线段距离与到圆弧距离"的逐点最小。采样密度 $N \in \{8,12,16,24,32,48,64,96,128\}$。

插值性自检：所有插值型算法的控制点偏差为 0（机器零），Basis 例外（见 3.5）。等价性自检：Catmull-Rom 与 Cardinal[uniform] 控制点差 0.000e+00、与 Pleasing[uniform] 差 5.551e-17（圆）/1.110e-16（正弦），确认重实现与源码规则同构。

两条测量恒等式需要单独说明，否则会被误读为 bug。S 弯上 cubic[x] 与 cubic[uniform] 的误差逐档相同（1.955e-03 直至 1.561e-08），因为均匀 $x$ 采样使 $t=i$ 与 $t=x$ 只差一个仿射变换；曲率突变线上 Cardinal[弦长]、Cardinal[向心] 与 Pleasing[均匀] 三条曲线的最大偏差同到四位有效数字（1.120e-02 一行），argmax 落在 (0.916204, 0.601847)，位于圆弧末端的等距采样区内，弦长/向心/均匀三种参数化局部仿射等价，曲线互差最大仅 4.892e-06（弦长与向心之间为 2.446e-06），比最大偏差 1.022354e-03 小三个量级。主导误差项位于参数化不起作用的区域时，参数化比较就失去分辨力，这是度量本身的性质。

5.2 收敛结果¶

曲线	方法 [参数化]	实测阶 p	err(N=8)	err(N=128)
圆（闭）	Cubic [uniform]	4.07	1.152e-03	1.513e-08
圆（闭）	Cardinal / Pleasing / Catmull-Rom [uniform]	4.01	8.471e-03	1.361e-07
圆（闭）	Basis [uniform]	2.00	9.867e-02	4.015e-04
S 弯	Cubic [x] ≡ Cubic [uniform]	4.05	1.955e-03	1.561e-08
S 弯	Cubic [chordal]	4.00	2.116e-02	2.697e-07
S 弯	Cubic [centripetal]	4.02	1.210e-02	1.378e-07
S 弯	Cardinal [chordal]	3.35	2.103e-02	1.373e-06
S 弯	Cardinal [centripetal]	3.24	1.739e-02	1.373e-06
S 弯	Pleasing [uniform]	3.14	1.379e-02	1.375e-06
S 弯	Akima [x]	2.52	1.455e-02	1.086e-05
S 弯	PChip [x]	1.99	5.645e-02	1.793e-04
S 弯	Basis [uniform]	1.99	1.265e-01	4.079e-04
曲率突变	Cubic [x]	2.16	1.209e-02	2.388e-05
曲率突变	Cubic / Cardinal / Pleasing [各参数化]	2.01	7.474e-03–1.120e-02	2.219e-05–3.348e-05
曲率突变	Basis [uniform]	2.00	2.455e-02	7.533e-05

误差收敛双对数图与拟合阶

第一，C2 与 C1 的差距是常数倍而非阶数差（光滑数据上 Cardinal 也有 3–4 阶）：圆 $N=64$ 上 Cubic 2.425e-07 对 Cardinal 2.176e-06，8.97 倍；S 弯 $N=64$ 上 2.315128e-06 对 1.124768e-05（Cardinal 向心），4.86 倍。第二，参数化不改变渐近阶但改变常数：S 弯上 Cubic 的三种参数化都是 4.00–4.05 阶，而 $N=128$ 的误差从 1.561e-08（x/均匀）到 2.697e-07（弦长）差 17.28 倍；参数化误差以低阶项形式进入常数。第三，曲率突变线上所有方法塌缩到 2.0 阶且彼此差距缩小到 1.5 倍以内：G2 断点处的局部截差成为全局误差的主项，高阶方法的全局优势被局部奇性淹没；此处 Cardinal[弦长]、Cardinal[向心] 与 Pleasing[均匀] 三条曲线的最大偏差逐位相同（1.120e-02 等），因为 argmax 落在圆弧末端等距采样区，该区三种参数化局部仿射等价（曲线最大互差仅 4.892e-06，比最大偏差小三个量级）。

5.3 参数化安全性：环与过冲¶

2.3 节给出机制与发夹案例的定量数字（弦长过冲 0.1689、自交 1 处；向心 0.0076、0 处；均匀 0.0503、0 处）。拐角族扫描（20 构型 × 3 参数化）显示弦长过冲系统性地高于向心：转角 90°、臂比 0.05 时 0.2601 对 0.0490，转角 120°、臂比 0.05 时 0.2703 对 0.0509；稀疏圆五点采样上弦长过冲 0.3312–0.3730，向心 0.2230–0.2346。均匀参数化在 9/20 个拐角构型上自交。结论与文献一致：没有普适安全的参数化，但向心在"间距不均 + 急转"这一最常见的病理组合上最稳（与参考文献 4 中 Lee 的结论一致）；QWT 把基类默认设为弦长、把选择留给 setParametrization()，使用者应当意识到这个默认值在稀疏拐角数据上会起环。

5.4 与 Catmull-Rom 的对比：同预算下的精度与代价¶

Catmull-Rom 转三次 Bezier（$c_1 = p_i + (p_{i+1}-p_{i-1})/6$）与家族内每个方法共享同一控制点预算：每段 1 个三次 Bezier、2 个控制点，$n-1$（开）或 $n$（闭）段。差异只来自切向规则与参数化：

方法	圆 N=16	圆 N=64	S 弯 N=16	S 弯 N=64	控制点（N=64 圆）
控制多边形（0 控制点）	1.921472e-02	1.204544e-03	2.161493e-02	1.242306e-03	0
Catmull-Rom	5.502611e-04	2.175515e-06	9.106713e-04	1.129831e-05	128
Cardinal [centripetal]	5.502611e-04	2.175515e-06	1.086951e-03	1.124768e-05	128
Cubic [chordal]	6.434937e-05	2.425015e-07	9.738000e-04	2.315128e-06	128
PChip [x]	—	—	1.270445e-02	7.283185e-04	128
Pleasing [uniform]	5.502611e-04	2.175515e-06	9.106713e-04	1.129831e-05	128
Basis [uniform]	2.543621e-02	1.605333e-03	2.886462e-02	1.656556e-03	128

圆上 Catmull-Rom、Cardinal[centripetal]、Pleasing 三者逐位相同（等距采样下参数化仿射等价 + 张力规则不触发），Cubic 以同预算取得 8.97 倍精度；S 弯上 Cardinal[centripetal] 与 Catmull-Rom 开始分离（1.124768e-05 对 1.129831e-05，差距很小），Cubic 领先 4.88 倍。PChip 用 64.46 倍误差换单调性保证（极值处零过冲），Basis 在圆上全程劣于控制多边形（$N=64$：1.605333e-03 对 1.204544e-03）：逼近样条的卖点是光滑而非逼近精度，选型时不应把它当"更平滑的插值"。

同控制点预算下的误差对比

5.5 Fitted 与扁平化：渲染代价的实测与解析¶

屏幕尺度（$R=200$ px 圆）下用 Willcocks 细分复现 polygon(points, 0.5)：$N=16$ 时输出 65 点（放大 4.06 倍），$N=32$ 时 65 点（2.03 倍），$N=64$ 时 65 点（1.02 倍）；对照的控制多边形不经过 Bezier，直接以 $N+1$ 点绘制。即 Fitted 的顶点放大在稀疏控制点时显著（每段 Bezier 还需再细分），在 $N \ge 64$ 的屏幕尺度圆上几乎为零，此时每段 Bezier 已比 0.5 px 更平。容差扫描（$N=16$，tol 从 0.01 到 3.2 px，26 档）给出点数对容差的双对数斜率 −0.479（理论 −0.5），与解析式 $L\sqrt{\kappa/(8\varepsilon)}$ 的比值在 1.157–1.886 之间振荡；振荡来自二分的整数量子化（每段叶子数取 2 的幂次档），包络与解析曲线平行。家族成员之间的扁平化代价几乎无差：$N=32$、tol 0.05/0.2/0.5 下 Cardinal、Cubic、Pleasing、Basis 的点数完全相同（257/129/65），因为扁平化只看最终几何曲率，不看控制点怎么算出来的。

Willcocks 扁平化点数对容差的标度

把 4.3–4.5 节串起来，Fitted 一帧的解析代价为：可见性二分 $O(\log N)$（仅降采样路径）+ 映射与桶化 $O(n_{vis})$ + 样条控制点 $O(n')$（常数按 4.5 节表）+ 扁平化 $\max(n', L\sqrt{\bar\kappa/8\varepsilon})$ + 光栅化。其中只有第一项可能被 Fitted 的全量扩张破坏（无降采样属性时退化为 $O(N)$ 映射 + $O(N)$ 拟合），其余各项与控制点规模线性或次线性相关。

6. 讨论¶

6.1 选型建议¶

场景	推荐	理由
光滑测量曲线、要精度	`QwtSplineCubic` + `NotAKnot` + 向心	四阶、无自然边界层、急转安全
实时拖动/增量更新	`QwtSplineLocal::Cardinal` 或 `Akima`	locality 1–2，单遍 $O(N)$
含平台/极值的过程数据	`QwtSplineLocal::PChip`	单调性保证，零过冲
办公文档观感、闭合轮廓	`QwtSplinePleasing` + `ClosedPolygon`	G1 但窄角不甩出
噪声数据的光滑表示	`QwtSplineBasis`	不过点、C2、抗噪
稀疏且含急转的采样	任意插值样条 + 向心参数化	2.3 节的环分析

6.2 失效模式¶

自然边界二阶化：库默认 Clamped2=0；端点曲率非零时函数误差 $O(h^2)$、二阶导边界层 $O(1)$（5.2 节警告框与 [2] 节实测）。
弦长起环：发夹稀疏采样 1260 个构型中 118 个自交；所选展示构型过冲 0.1689（边长 0.1 的控制边旁冲出 0.17），33 个"弦长起环且向心干净"构型中过冲最大 0.173。
均匀起环：拐角族 9/20 构型自交；均匀参数化假设等速采样，违反即失效。
PChip 阶数塌缩：含极值数据上实测 1.99 阶，极值邻结切向截差 $O(h)$；平台区斜率恒零产生肉眼可见的"平头"。
Akima 偏置：2.52 阶，权重含 $\lvert f''\rvert h$ 项，曲率符号变化处偏置最大。
Basis 不过点：$N=24$ 正弦上偏离控制点 1.231e-02；圆上精度劣于控制多边形本身。
Pleasing 的 G1 折痕：窄角处张力规则切换导致切向不连续，放大可见棱线；这是设计意图而非缺陷，但不应在需要 C1 的下游（如等距重采样后求曲率）使用。
Fitted 的全量扩张：无降采样属性时每帧变换并拟合全部 $N$ 点；带 FilterPointsLTTB 时可见区间由 LTTB 归约恢复，但 fitter 输入变成约 $4W$ 点的降采样折线（换用 FilterPointsMinMaxLTTB 时是极值锯齿折线，C2 样条会忠实穿过它），结构性风险，未做像素级量化，待复核。
ClosedPolygon 的参数化限制：闭合增量必须为正，故 ParameterX/ParameterY 不可用（qwt_spline.h 头注释明示）；对 $x$ 非单调的闭合轮廓只能用幂族参数化。
参数化与标量路径不一致：同一数据上 Cubic[x] 与 Cubic[chordal] 是两条不同的曲线（$N=128$ 正弦上差 17 倍误差常数），切换参数化会静默改变几何，没有告警。

6.3 适用边界¶

本报告的收敛数字针对无噪解析曲线；含噪数据上高阶方法的常数优势会被噪声放大效应抵消（C2 全局求解对噪声的条件数高于局部规则），此时应先平滑（见《曲线渲染平滑》篇）或改用 Basis/PChip。实验的偏差度量是曲线到参考曲线的法向距离，不区分相位误差与幅值误差；对时间序列的峰位保真应另设指标。扁平化分析假设曲率缓变，曲率突变线附近的局部点数会偏离 $\sqrt{\kappa}$ 标度。

实验脚本本身是交付物的一部分：spline_experiment.py 把正文表格的全部数字打印到 stdout，图由同一脚本生成，重跑（python spline_experiment.py，仅依赖 numpy 与 matplotlib，无随机性）即可逐位复核本报告。重实现与源码共享公式但不共享代码路径，二者的一致由 5.1 节的等价性自检互为验证；重实现的简化之处（循环三对角用稠密求解而非 Thomas、未复现 KAHAN 补偿求和开关、PChip/Akima 仅实现开曲线分支）不影响上述结论，但做位级比对时需要计入。

7. 代码实践¶

以下片段使用的 API 均以当前源码为准（QwtSplineCurveFitter::setSpline 与 QwtPlotCurve::setCurveFitter 均接管所有权）。

7.1 用 C2 样条替换默认 fitter¶

#include <qwt_plot.h>
#include <qwt_plot_curve.h>
#include <qwt_spline_curve_fitter.h>
#include <qwt_spline_cubic.h>
#include <qwt_spline_parametrization.h>

QwtPlotCurve* curve = new QwtPlotCurve("trace");
curve->setSamples(x, y, n);
curve->setCurveAttribute(QwtPlotCurve::Fitted, true);   // enable spline rendering

// replace the default Cardinal/uniform fitter with a C2 cubic spline
QwtSplineCurveFitter* fitter = new QwtSplineCurveFitter;
QwtSplineCubic* spline = new QwtSplineCubic;
spline->setBoundaryConditions(QwtSplineC2::NotAKnot);   // 4th order, no boundary layer
spline->setParametrization(QwtSplineParametrization::ParameterCentripetal);
fitter->setSpline(spline);      // fitter takes ownership of the spline
curve->setCurveFitter(fitter);  // curve takes ownership of the fitter
curve->attach(plot);

7.2 直接使用样条：控制点、折线化与等距重采样¶

#include <qwt_spline_local.h>
#include <qwt_spline_pleasing.h>

// monotone process data: PChip guarantees no overshoot at extrema
QwtSplineLocal pchip(QwtSplineLocal::PChip);
const QVector<QLineF> ctrl = pchip.bezierControlLines(points);  // n-1 cubics

// office look with narrow-angle tension rules; flatten at half a pixel,
// the same tolerance examples/2D/splineeditor uses
QwtSplinePleasing pleasing;
const QPolygonF flat = pleasing.polygon(points, 0.5);

// resample the spline at a fixed parameter distance (e.g. for arc-length plots)
QwtSplineLocal cardinal(QwtSplineLocal::Cardinal);
const QPolygonF resampled = cardinal.equidistantPolygon(points, 4.0, false);

7.3 闭合轮廓与逼近型平滑¶

#include <qwt_spline_cubic.h>
#include <qwt_spline_basis.h>

// closed contour: do NOT repeat the first point at the end;
// ClosedPolygon excludes ParameterX/ParameterY (closing increment must be > 0)
QwtSplineCubic ring;
ring.setBoundaryType(QwtSpline::ClosedPolygon);
ring.setParametrization(QwtSplineParametrization::ParameterChordal);
const QPainterPath path = ring.painterPath(contour);

// approximating smoothing: the curve deliberately misses the (noisy) points
// and needs at least 4 control points (painterPath returns empty otherwise)
QwtSplineBasis smoother;
smoother.setParametrization(QwtSplineParametrization::ParameterUniform);
const QPainterPath smooth = smoother.painterPath(noisy);

提示 — 诊断参数化问题

曲线在拐角处甩出或起环时，先打印 bezierControlLines() 的臂长与边长之比：某段 $(|c_1-p_1| + |p_2-c_2|)/|p_2-p_1|$ 明显大于 1 即切向量过放的信号，切换 ParameterCentripetal 通常立即收敛（2.3 节的发夹案例中该比值从起环降到安全区）。

8. 小结¶

QwtSpline 家族在工程实现上全部保持 $O(N)$：C2 的代价是一次（参数化时两次）三对角求解与 locality 0 的全局耦合，C1 的代价是渐近阶让出 1–2 阶与形状先验的介入。光滑无噪、端点曲率可控的数据上，Cubic + not-a-knot + 向心是精度上限（4 阶、同预算在圆上比 Catmull-Rom 好 8.89–8.97 倍、在 S 弯上好 4.88 倍）；含极值或平台的数据上，PChip 的二阶是买单调性的价格；稀疏急转数据上，参数化的选择比算法的选择更关键（22.5 倍的过冲差距）。库默认值（自然边界 + 弦长或均匀参数化）是为"一般好看"而非"最准或最稳"设置的，两个默认都带上文量化的失效模式。渲染侧，屏幕尺度下 Bezier 扁平化的顶点放大在 $N \ge 64$ 时已可忽略（1.02 倍），Fitted 的真实成本在控制点计算与（无降采样属性时的）全量变换，而不在多边形点数。

9. 参考文献¶

QWT7 源码：src/plot/qwt_spline.cpp（qwtSplineC1PathParametric、slopeBoundary、polygon、equidistantPolygon）、qwt_spline_cubic.cpp（EquationSystem、EquationSystem2、qwtSetupEndEquations）、qwt_spline_local.cpp（qwtSlopeCardinal/PChip/Akima）、qwt_spline_pleasing.cpp（qwtTensionPleasing）、qwt_spline_basis.cpp、qwt_spline_parametrization.h、qwt_spline_curve_fitter.cpp、src/core/qwt_bezier.cpp、src/plot/qwt_plot_curve.cpp、src/plot/qwt_point_mapper.cpp。
L. Piegl, W. Tiller. The NURBS Book, 2nd ed. Springer, 1997：弦长/向心参数化的选择与环、尖点缺陷的讨论。
G. Farin. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, 5th ed. Morgan Kaufmann, 2002：参数化对插值几何的影响。
E. T. Y. Lee. "Choosing Nodes in Parametric Curve Interpolation." Computer-Aided Design 21(6), 1989：向心参数化避免自交的结论。
R. Willcocks. "Piecewise Linear Approximation of Bezier Curves." 注：qwt_spline.cpp 与 qwt_bezier.cpp 头注释直接引用该文作为扁平化判据来源。
C. de Boor. A Practical Guide to Splines. Springer, 2001：样条误差定理与常数。
J. H. Ahlberg, E. N. Nilson, J. L. Walsh. The Theory of Splines and Their Applications. Academic Press, 1967：$5/384$ 与 $3/8$ 常数的出处。
F. N. Fritsch, R. E. Carlson. "Monotone Piecewise Cubic Interpolation." SIAM J. Numer. Anal. 17(2), 1980：PChip 斜率规则。
H. Akima. "A New Method of Interpolation and Smooth Curve Fitting Based on Local Procedures." J. ACM 17(4), 1970.
QWT7 开发工具：examples/2D/splineeditor（交互式对比七种样条）、tests/splineprof（$10^7$ 点计时扫参，未接入 CMake）、tests/splinetest（边界条件一致性核对，未接入 CMake）。

配套阅读： LTTB 降采样算法原理与 QWT7 的 MinMax 桶实现：Fitted 输入折线的来源；曲线渲染平滑：高斯卷积、Savitzky-Golay 回归与特征保护：拟合之前的像素噪声移除；多边形裁剪：ClipPolygons 与拟合顺序；实时流式渲染：全量重拟合在流式场景的代价。

类型	增量 \(\Delta t_i\)	源码函数	备注
`ParameterX`	\(x_{i+1}-x_i\)	`valueIncrementX`	非参数化，要求 \(x\) 单调
`ParameterY`	\(y_{i+1}-y_i\)	`valueIncrementY`	交换坐标的非参数化
`ParameterUniform`	\(1\)	`valueIncrementUniform`	最快，假设等速采样
`ParameterChordal`	\(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\)	`valueIncrementChordal`	弧长的一阶近似
`ParameterCentripetal`	\(\left(\Delta x^2+\Delta y^2\right)^{1/4}\)	`valueIncrementCentripetal`	弦长开方，\(\alpha=0.5\)
`ParameterManhattan`	\(\lvert\Delta x\rvert+\lvert\Delta y\rvert\)	`valueIncrementManhattan`	比弦长快、通常更差

算法	内节点斜率 \(m_i\)	源码	locality
Cardinal	\((\Delta y_{i-1}+\Delta y_i)/(\Delta t_{i-1}+\Delta t_i)\)	`qwtSlopeCardinal:48`	1
ParabolicBlending	\((\Delta t_i s_{i-1} + \Delta t_{i-1} s_i)/(\Delta t_{i-1}+\Delta t_i)\)	`qwtSlopeParabolicBlending:56`	1
PChip	单调时 \(3 s_{i-1} s_i/(s_{i-1}+s_i+s_{12})\)，否则 \(0\)	`qwtSlopePChip:64`	1
Akima	\((s_2 \lvert s_4-s_3\rvert + s_3 \lvert s_2-s_1\rvert)/(\lvert s_2-s_1\rvert+\lvert s_4-s_3\rvert)\)	`qwtSlopeAkima:200`	2