箱线图统计量的分位数算法：QwtBoxStatisticsCalculator 的估计器选择与 R 型分位数对比¶

摘要 —— 箱线图把一组数据压缩成五数概括（下须、Q1、中位数、Q3、上须）加一串离群点，但"样本分位数"本身没有唯一定义：同一份排序数据，Hyatt & Sackrow 归纳的九种 R 型定义可以给出九个不同的 Q1/Q3，而 IQR 离群栅栏又直接建立在这两个数上，估计器的选择因此会一路传导到"哪些点被画成离群点"。QWT7 core 模块的 QwtBoxStatisticsCalculator（src/core/qwt_box_statistics.h/.cpp）被逐行剖析，34,440 个探针分位数与九种 R 型定义逐一数值对照，其 quantile() 实现（index = p·(n−1) 线性插值）正是 R-7 型，即 R 语言、Excel PERCENTILE.INC、NumPy 的默认口径；正态、对数正态、t(3)、双峰四种分布上的实验量化了九种定义间的分位数分歧（n=8 时 Q3 分歧可达 0.51×IQR，随 n 按 ≈n⁻¹ 衰减）、离群点计数的敏感性（对数正态样本上 R-6 比其余八种少数出一个离群点）、1.5×IQR 规则在小样本下的组合边界（R-7 口径 n=4 即可出现离群点、n≤3 恒不可能，并给出证明），以及排序式精确计算相对 P² 流式近似的代价与收益。全部结论均以源码与真实运行输出为准。首发时发现的两个源码级缺陷是 Percentile 须线方法的上下分位数水平互换（当时 C++ 实测 whiskerLower > whiskerUpper、全部 64 点被计为离群点）与 QwtPlotBoxChart 的"均值标记"实际画在中位数位置，二者已在 v7.5.1 修复，4.6 节给出修复后的复测数据；同一批修复还移除了 QwtBoxStatisticsCalculator 不被任何计算路径消费的实例配置接口。

摘要 — 核心结论

QwtBoxStatisticsCalculator::quantile() 与 R-7 型分位数在 34,440 个探针（n=2…256、含大量 ties、p∈{0.05,…,0.95}）上零失配，最大绝对差 3.55×10⁻¹⁵（浮点舍入级）；其余八种定义的失配数在 19,884–26,322 之间

九种定义间的 Q1/Q3 分歧以样本 IQR 归一后至少按 n⁻¹ 衰减（log-log 拟合指数 1.03–1.43，唯一慢于 n⁻¹ 的是双峰中位数的 0.65）：正态 n=8 时 Q1 平均分歧 0.263×IQR、p95 达 0.783×IQR；n=256 时降到 0.0066×IQR，小样本箱线图的"四分位数"带 0.3 IQR 量级的定义噪声

1.5×IQR 规则能否触发存在精确的组合下界：R-7 口径 n=4 是最小可判样本（反例 [0,0,0,1]，栅栏 0.625），n≤3 恒无离群点（4.4 节给出代数证明）；"n=5 不可能出离群点"的流传说法对 R-7 不成立（[0,1,2,3,100] 判出 100）

离群点计数对估计器不敏感但非免疫：64 点正态+3 注入点（n=67）上九种定义一致判 3；32 点对数正态上 R-6 判 2、其余八种判 3；右偏分布中约 9.4% 的点被 1.5×IQR 规则标为"离群"，这是偏度而非污染

C++ 交叉验证 20/20 用例与 Python 复刻逐位一致（最大相对差 0.000e+00）；同批用例复测了 Percentile 须线修复后的行为（pctl5：wl=−1.599655 < wu=1.860208、8/64 离群点），并坐实 SE 方法下须线伸进箱体内部（whiskerUpper=99.97 < q3=108.56）

1. 引言：五数概括与分位数的不唯一性¶

1.1 箱线图消费的五个数¶

Tukey（1977）提出的箱线图把一组观测 \(x_1,\dots,x_n\) 压缩为五数概括加离群点集合：

\[ \left(\; w_{\text{lo}},\; Q_1,\; \tilde{x},\; Q_3,\; w_{\text{hi}} \;\right), \qquad \mathcal{O} = \left\{ x_i : x_i \notin [\,w_{\text{lo}},\, w_{\text{hi}}\,] \right\} \]

其中 \(Q_1 = \hat{Q}(0.25)\)、\(\tilde{x} = \hat{Q}(0.5)\)、\(Q_3 = \hat{Q}(0.75)\) 是样本分位数，Tukey 栅栏规则给出

\[ w_{\text{lo}} = Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}, \qquad w_{\text{hi}} = Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}, \qquad \mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 \]

（绘制时须线端点还要与数据极值取夹，见 3.3 节。）这条管线里唯一的"自由度"是 \(\hat{Q}(p)\) 的定义。总体分位数 \(Q(p) = F^{-1}(p)\) 由分布唯一确定，但它的样本估计 \(\hat{Q}(p)\) 不是：\(n\) 个排序观测只有 \(n\) 个"天然候选位置"，而 \(p\in(0,1)\) 是连续的，任何定义都必须在"取哪个秩、要不要插值、插值权重多少"上做出约定。

1.2 不唯一性有多大¶

对排序数据 \(x_{(1)} \le \cdots \le x_{(n)}\)，最朴素的几种约定已经给出不同答案：\(n=8\)、数据为 \(1,\dots,8\) 时，"Q1 = 下半部分的中位数"给 2.5，"Q1 = 第 \(\lceil n/4 \rceil\) 个次序统计量"给 2，"Q1 = 虚拟秩 \((n-1)\cdot 0.25 + 1 = 2.75\) 处线性插值"给 2.75，同一份数据的 Q1 在 2 与 2.75 之间摆动，幅度 0.75，按 R-7 口径的 IQR=3.5 折算即 0.21×IQR。这个差还会被栅栏公式放大：\(w_{\text{lo}} = 2.5Q_1 - 1.5Q_3\)、\(w_{\text{hi}} = 2.5Q_3 - 1.5Q_1\)，Q1 的 0.75 偏移把下栅栏推远 1.9，直接决定边缘点是否被画成离群点。

第 2 节把九种标准定义（R-1…R-9）连同各自的统计性质列表给出；第 3 节逐段剖析 QWT 的实现并证明其归属 R-7；第 4 节用可复现实验量化定义选择的实际后果；第 5 节列出失效模式（含两个已在 v7.5.1 修复的源码级缺陷）；第 6 节给出 QwtPlotBoxChart 与自定义统计口径的代码实践。

所有实验数字来自 docs/assets/algorithms/boxstats_experiment.py（Python 3.11 + numpy + matplotlib，固定种子，不含任何墙钟计时）与 docs/assets/algorithms/boxstats_check.cpp（链接真实 qwtcore.lib 的 C++ harness）的运行输出；两者互相印证，见 4.6 节。

2. 分位数的九种定义（R-1 … R-9）¶

Hyatt & Sackrow（2003）把 R 语言 quantile() 的九种 type 参数整理成一张定义表，以下分类沿用该表。约定 \(x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}\) 为次序统计量，\(p\in(0,1)\)。

2.1 离散型：R-1、R-2、R-3¶

前三种定义只返回观测值本身（R-2 允许相邻两点的平均），不做插值：

\[ \text{R-1:}\quad \hat{Q}(p) = x_{(\lceil np \rceil)} \]

\[ \text{R-2:}\quad \hat{Q}(p) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}\left(x_{(np)} + x_{(np+1)}\right), & np \in \mathbb{Z} \\[2pt] x_{(\lceil np \rceil)}, & \text{otherwise} \end{cases} \]

\[ \text{R-3:}\quad \hat{Q}(p) = x_{(k)}, \quad k = \operatorname{round\text{-}to\text{-}even}(np) \]

R-1 是经验分布函数的逆（inverse empirical CDF），满足 \(\hat{Q}(p) = \inf\{x : F_n(x) \ge p\}\)；R-2 在其间断点处取左右极限的平均；R-3 是 SAS 的默认口径，取最接近 \(np\) 的秩、平局取偶数秩。三者都是分布无关的：不假设 \(F\) 连续，返回值必是观测值（R-2 除外）。代价是 \(\hat{Q}(p)\) 作为 \(p\) 的函数是阶梯形：p 微小变化可导致秩跳变，这正是 4.2 节中 ties 数据上九种定义分歧最大的来源。

2.2 连续型：R-4 … R-9¶

后六种定义统一写成"虚拟秩 \(h\) + 线性插值"：

\[ \hat{Q}(p) = (1-\gamma)\, x_{(\lfloor h \rfloor)} + \gamma\, x_{(\lfloor h \rfloor + 1)}, \qquad \gamma = h - \lfloor h \rfloor \]

（\(h<1\) 或 \(h>n\) 时夹到端点。）区别仅在 \(h(p)\)：

类型	\(h(p)\)	等价形式（Hyatt–Sackrow 的 \(m\)）	常见使用者
R-4	\(np\)	\(m = 0\)	—
R-5	\(np + \tfrac12\)	\(m = \tfrac12\)	—
R-6	\((n+1)p\)	\(m = p\)	Minitab、SPSS
R-7	\((n-1)p + 1\)	\(m = 1-p\)	R/NumPy/Excel/Julia 默认
R-8	\((n+\tfrac13)p + \tfrac13\)	\(m = \tfrac{p+1}{3}\)	推荐（近似中位无偏）
R-9	\((n+\tfrac14)p + \tfrac38\)	\(m = \tfrac38 + \tfrac p4\)	正态分位数近似无偏

2.3 统计性质对比¶

无偏性。Hyatt & Sackrow 的模拟研究显示：对正态样本，R-1…R-7 在尾部概率（p 接近 0 或 1）处系统性低估 \(|Q(p)|\)（负偏），R-8 对任意分布都近似中位无偏，R-9 使 \(\mathbb{E}[\hat{Q}(p)] \approx Q(p)\) 对正态分布成立。箱线图只消费 p∈{0.25, 0.5, 0.75}，远离尾部，各定义的偏差差异远小于 4.3 节量化的"分歧带"宽度。

连续性与取值域。R-4…R-9 是 \(p\) 的连续函数、可取任意插值值（不必是观测值）；R-1/R-3 只取观测值；R-2 可取相邻观测的平均。对偶数 \(n\) 的中位数：R-1/R-3/R-4 取单个中间点（\(n=8\) 时均为 \(x_{(4)}\)），其余六种均取两中间点的平均 4.5（见 4.2 节实测表）："偶数样本中位数取平均"并非普适，取决于定义。

分布无关性。九种定义都不假设 \(F\) 的形态（都只依赖次序统计量），但 R-6…R-9 的 \(h(p)\) 隐含"次序统计量期望位置"的模型：R-6 对应 \(\mathbb{E}[F(x_{(k)})] = k/(n+1)\)，R-7 对应 \((k-1)/(n-1)\)，R-8/R-9 分别对应使估计近似无偏的修正。选择哪种定义就是选择"经验 CDF 的哪个插值模型"。

3. QwtBoxStatisticsCalculator 实现剖析¶

类在 src/core/qwt_box_statistics.h/.cpp（core 模块，QWTCORE_EXPORT 导出；src/plot/qwt_box_statistics.h 是转发头文件）。它的计算接口全部为静态方法，输入原始数据、输出 QwtBoxSample（五数概括 + 离群点计数）与 QwtBoxOutlierSample（离群点值列表）；消费方是 QwtPlotBoxChart（src/plot/qwt_plot_boxchart.h/.cpp）。类中曾另有构造函数与 setWhiskerMethod()/whiskerMethod()/setWhiskerCoefficient()/whiskerCoefficient() 四个实例方法，但成员 m_method/m_coefficient 不被任何静态计算路径消费，属遗留死状态（源码异味）；v7.5.1 起这些实例接口已移除，WhiskerMethod/系数一律作为静态方法的显式实参给出。

3.1 数据流与排序策略¶

flowchart TD
    A["rawData (QVector&lt;double&gt;)"] --> B["calculateFromRaw:<br/>过滤 NaN/Inf（一遍，qwt_is_nan_or_inf）"]
    B --> C["sortData: 拷贝 + std::sort<br/>(O(n log n)，introsort 族)"]
    C --> D["calculate(position, sorted, method, coeff)"]
    D --> E["quantile(sorted, 0.25/0.5/0.75)<br/>各 O(1) 直接索引"]
    E --> F["按 WhiskerMethod 计算<br/>whiskerLower / whiskerUpper"]
    F --> G["离群点扫描: val &lt; wl 或 val &gt; wu<br/>(严格不等式，O(n))"]
    D --> H["calculateFull 另调 extractOutliers<br/>再扫一遍收集离群值"]
    H --> I["QwtBoxSample + QwtBoxOutlierSample"]

    style C fill:#fdecea,stroke:#d62728
    style E fill:#e8f5e9,stroke:#2ca02c

排序策略是全量 std::sort（qwt_box_statistics.cpp:17-22），不是 std::nth_element。calculateFromRaw 共触碰数据四遍：过滤一遍（filtered.append）、sortData 里再拷贝一遍、排序 \(O(n\log n)\)、离群点扫描一遍；calculateFull 追加 extractOutliers 的第五遍。峰值时三份 double 缓冲（raw + filtered + sorted）同时存活，共 \(24n\) 字节，其中 \(16n\) 字节是本函数新增的。分位数查询本身是 \(O(1)\)：排序后直接按索引取值，每个 p 至多两次索引（插值邻居），三个 p 合计不超过 6 次。

calculate() 的公开签名接受已排序数据（static QwtBoxSample calculate(double position, const QVector<double>& sortedData, ...)），这解释了为什么排序与统计分成两个入口：调用方可以对同一份排序数据用不同 WhiskerMethod/系数多次调用 calculate，只付一次排序代价。代价与替代方案的完整分析见 4.5 节。

3.2 quantile()：R-7 的 0-based 写法¶

核心片段（qwt_box_statistics.cpp:24-40，其中 // 0-based virtual index 注释为笔者所加）：

double QwtBoxStatisticsCalculator::quantile(const QVector< double >& sorted, double p)
{
    if (sorted.isEmpty())
        return 0.0;

    const int n        = sorted.size();
    const double index = p * (n - 1);                 // 0-based virtual index
    const int lower    = static_cast< int >(std::floor(index));
    const int upper    = static_cast< int >(std::ceil(index));

    if (lower == upper)
        return sorted[ lower ];

    // Linear interpolation
    const double frac = index - lower;
    return sorted[ lower ] + frac * (sorted[ upper ] - sorted[ lower ]);
}

代数上，0-based 虚拟索引 \(\text{index} = p(n-1)\) 与 1-based 虚拟秩 \(h = \text{index} + 1 = (n-1)p + 1\) 只差平移；插值权重 \(\gamma = \text{index} - \lfloor\text{index}\rfloor = h - \lfloor h \rfloor\)；端点 \(p=0 \Rightarrow\) index=0 \(\Rightarrow x_{(1)}\)、\(p=1 \Rightarrow\) index=n−1 \(\Rightarrow x_{(n)}\) 与 R-7 的夹取一致。该实现逐项等于 R-7 型定义，median() 即 quantile(0.5)、iqr() 即 quantile(0.75) − quantile(0.25)，故偶数样本中位数取两中间点平均、四分位数可取非观测值。4.2 节用 34,440 个探针对九种定义做数值对照：R-7 零失配，其余全部大量失配；4.6 节的 C++ harness 又把这个 Python 结论在真实编译产物上得到确认。

一个边界行为要注意：空输入返回 0.0 而非 NaN，calculate() 对空数据返回全零的 QwtBoxSample(position)：空箱子会被画在值 0 处并参与自动缩放（见第 5 节失效清单）。

3.3 五种须线方法与离群点规则¶

WhiskerMethod 枚举（qwt_box_statistics.h:32-48）决定 \([w_{\text{lo}}, w_{\text{hi}}]\) 的来源，默认 Tukey、系数 1.5：

方法	whiskerLower	whiskerUpper	语义
`Tukey`	\(\max(x_{(1)},\; Q_1 - c\cdot\mathrm{IQR})\)	\(\min(x_{(n)},\; Q_3 + c\cdot\mathrm{IQR})\)	栅栏与数据极值取夹
`Percentile`	`quantile(c/100)`	`quantile(1 − c/100)`	c 为尾部百分比（如 5 → 第 5/95 百分位）；v7.5.1 起水平顺序正确
`MinMax`	\(x_{(1)}\)	\(x_{(n)}\)	无离群点概念
`StandardDeviation`	\(\max(x_{(1)}, \bar{x} - c\,s)\)	\(\min(x_{(n)}, \bar{x} + c\,s)\)	均值 ± c×标准差（s 为 ddof=1）
`StandardError`	\(\max(x_{(1)}, \bar{x} - c\,s/\sqrt{n})\)	\(\min(x_{(n)}, \bar{x} + c\,s/\sqrt{n})\)	均值 ± c×标准误

修复说明（v7.5.1）— Percentile 方法的上下分位数水平

首发版本的源码曾把 whiskerLower 赋为 quantile(1.0 - coefficient/100.0)（高分位）、whiskerUpper 赋为 quantile(coefficient/100.0)（低分位）；修正后的分支现位于 qwt_box_statistics.cpp:131-135。c=5 时 whiskerLower=q(0.95) > whiskerUpper=q(0.05)，QwtBoxSample::isValid() 必为 false；且离群点判据 val < whiskerLower || val > whiskerUpper 对每个数据点成立；当时 C++ 实测（4.6 节 pctl5 用例，64 点标准正态）：whiskerLower=1.860208、whiskerUpper=−1.599655、outlierCount=64/64。v7.5.1 起两行水平对调（whiskerLower = quantile(c/100)、whiskerUpper = quantile(1−c/100)），同一用例复测为 whiskerLower=−1.599655 < whiskerUpper=1.860208、outlierCount=8/64；tests/box_statistics_test 固化该回归。

Tukey 分支与教科书惯例有一处差异：QWT 的须线端点是栅栏值本身（再被数据极值夹取），而 R/经典 Tukey 惯例把须线画到"栅栏以内最极端的实际数据点"。两者在数据越过栅栏时不相等：4.4 节实测数据集 A 上，QWT whiskerUpper=2.879038 而 R 惯例端点=2.288083，差 0.591；下侧差 1.265。QWT 的离群点计数（严格不等式 val < wl || val > wu，qwt_box_statistics.cpp:171）与自己的栅栏口径自洽，但箱子的视觉长度系统性长于 R 风格画法，跨库对图时会发现须线对不齐。

StandardDeviation/StandardError 采用"均值 ± 区间"的误差棒语义，不是经典箱线图口径，只是复用了离群点扫描：落在 mean±c·s 之外的点全部计入 outlierCount。c=1、正态数据时约 32% 的点会被计为"离群点"（C++ 实测 sd1 用例：21/64）；SE 方法区间更窄，实测 55/64，且出现 whiskerUpper=99.97 < q3=108.56：须线端点伸进箱体内部，drawWhiskers 会把上须画成向下穿过箱体的线段。这两个方法适合做误差棒叠加，不适合当离群点探测器用。

3.4 NaN 语义与样本结构¶

calculateFromRaw/calculateFull 在排序前过滤 NaN 与 ±Inf（qwt_is_nan_or_inf，qwt_math.h），离群点扫描也跳过它们，因此统计量对 NaN 输入是干净的。但 calculate() 本身不过滤：它假定入参已排序且无 NaN；直接传入含 NaN 的数据会得到 NaN 污染的四分位数（NaN 参与比较与算术的结果），传入未排序数据则语义完全错误（索引即秩的前提被破坏）。

QwtBoxSample（src/core/qwt_samples.h:363-433）继承 QwtStatisticalSample（position/lower/upper/center），自有字段与图形元素的对应关系见下图与表：

QwtBoxSample 字段与箱线图元素的一一对应：左为 QWT 栅栏端点约定，右为 R/经典 Tukey 数据点端点约定

字段	图形元素（`qwt_plot_boxchart.cpp`）	备注
`position`	箱体中心的分类轴坐标	垂直方向时映射到 x
`q1` / `q3`	箱体下/上边缘（`boxInterval()`）	`Rect` 风格为矩形对边
`median`	箱内横线（`medianPen`，默认宽 2）	同时写入继承的 `center` 字段
`mean`	均值标记（`setMeanVisible(true)` + `setMeanSymbol`）；v7.5.1 起画在 `mean` 上	默认 NaN，`QwtBoxStatisticsCalculator` 为算出的样本填入；`hasMean()` 判定可用性
`whiskerLower` / `whiskerUpper`	须线端点 + 横帽	帽宽 = 0.3 × 箱宽（`drawWhiskers`）
`outlierCount`	无图形，仅统计	绘制用的是 `QwtBoxOutlierSample.values`
`QwtBoxOutlierSample.values`	离群点符号	默认 XCross 8×8，可 `setOutlierSymbol`

箱体宽度由 boxExtent（默认 0.6 个分类刻度单位）经 scaledBoxWidth 换算成像素并受 minBoxWidth(2px)/maxBoxWidth 夹取。Notch 风格的凹口偏移是 (q3Pixel − q1Pixel) × 0.1 的纯视觉量（qwt_plot_boxchart.cpp:781），不是 McGill et al.（1978）的统计缺口 \(\tilde{x} \pm 1.57\,\mathrm{IQR}/\sqrt{n}\)（中位数 95% 置信区间）；两种"notch"同名不同物。setOutlierJitter 的水平抖动使用 QRandomGenerator::global()，每次重绘位置不同（非确定性渲染）。

4. 实验¶

4.1 设计与复现¶

脚本 docs/assets/algorithms/boxstats_experiment.py（固定种子 20251012/424242/777/9999/31337，Agg 后端，全部原始数字打印到 stdout，两次运行逐行一致）。Python 端对 qwt_box_statistics.cpp 做了逐表达式复刻（含 frac * (upper − lower) 的运算顺序；Percentile 分支按 v7.5.1 修复后的水平顺序），并在 4.6 节用真实 C++ 编译产物验证复刻的正确性。按任务约束，全部实验不含墙钟计时；计算代价一节只做解析计数。

4.2 (a) 定义归属的数值证据¶

对 n=2…39 与 n∈{64,128,256} 各生成 120 组数据（连续、整数舍入产生大量 ties、均匀三种模式），在 p∈{0.25, 0.5, 0.75, 0.05, 0.95, 0.1, 0.9} 共 34,440 个探针上比较 QWT 复刻与 R-1…R-9：

定义	最大绝对差	失配探针数（>10⁻¹²）
R-1	4.76956	21,717
R-2	4.44386	19,884
R-3	4.76956	23,925
R-4	4.76956	26,322
R-5	2.82295	22,686
R-6	4.44386	23,411
R-7	3.55×10⁻¹⁵	0
R-8	3.07987	23,080
R-9	2.99941	23,007

R-7 的残差是双精度舍入级（3.55×10⁻¹⁵ 出现在大量级数据上），其余八种有成千上万个探针失配。配合 3.2 节的代数推导，QWT = R-7 的结论得到双重确认。手算可比对的小样本表（stdout 原样）：

\(n=8\)，数据 \(1,\dots,8\)：

定义	Q1	中位数	Q3
R-1	2.0000	4.0000	6.0000
R-2	2.5000	4.5000	6.5000
R-3	2.0000	4.0000	6.0000
R-4	2.0000	4.0000	6.0000
R-5	2.5000	4.5000	6.5000
R-6	2.2500	4.5000	6.7500
R-7	2.7500	4.5000	6.2500
R-8	2.4167	4.5000	6.5833
R-9	2.4375	4.5000	6.5625
QWT	2.7500	4.5000	6.2500

验证 R-7 一列：\(h(0.25) = (8-1)\times0.25 + 1 = 2.75\)，即 \(x_{(2)} + 0.75(x_{(3)}-x_{(2)}) = 2 + 0.75 = 2.75\)；QWT 的 0-based 索引 \(0.25\times7 = 1.75\)，sorted[1] + 0.75×(sorted[2]−sorted[1]) 同值。中位数一列同时展示了 2.3 节的论断：R-1/R-3/R-4 对偶数 n 取单点 4，其余取平均 4.5。

含 ties 的数据 \([1,1,2,3,5,8,13]\)（n=7）上分歧更大：Q1 从 1.0000（R-1/2/3/4/6）到 1.5000（R-7=QWT），Q3 从 5.0000（R-3）到 8.0000（R-1/2/6）；离散型定义在 ties 处的秩跳跃贡献了主要分歧。

4.3 (b) 九种定义间的分歧带及其衰减¶

四种分布（标准正态、lognormal(0,1) 右偏、t(3) 重尾、双峰 \(\tfrac12 N(-2,0.5^2)+\tfrac12 N(2,0.5^2)\)），n∈{8,16,32,64,256}，每格 1000 次 Monte Carlo；度量 = 九种定义给出的同一统计量的 max−min，除以该样本的 R-7 IQR（自适应数据尺度）。均值/p95（stdout 摘录，完整表见脚本输出）：

分布	n	Q1 分歧	中位数分歧	Q3 分歧
normal	8	0.2629 / 0.7833	0.1333 / 0.3204	0.2789 / 0.8393
normal	256	0.0066 / 0.0212	0.0036 / 0.0109	0.0073 / 0.0218
lognormal	8	0.1589 / 0.5236	0.1242 / 0.3271	0.5138 / 1.5684
t3	8	0.3185 / 0.9174	0.1209 / 0.2980	0.3014 / 0.8893
bimodal	8	0.2318 / 1.4687	0.1457 / 0.4335	0.2918 / 1.7027
bimodal	256	0.0018 / 0.0057	0.0146 / 0.0513	0.0018 / 0.0056

九种 R 型定义间 Q1/中位数/Q3 的分歧随 n 的衰减（按样本 IQR 归一，1000 次 Monte Carlo 均值，标注拟合衰减指数）

对 log-log 拟合的衰减指数（spread ~ n^−α）：正态 α = 1.063/1.046/1.060（Q1/中位数/Q3），对数正态 1.101/1.050/1.059，t(3) 1.071/1.029/1.077，普遍按 1/n 衰减，与解析预期一致：连续型定义间的虚拟秩差 \(|\Delta h|\) 有界（如 R-6 与 R-7 差 \(|2p-1|\le 1\)，R-8 与 R-7 差 \(\le\tfrac13\)），而相邻次序统计量的平均间距 \(\approx 1/(n f(Q(p)))\)，故分歧 \(\approx |\Delta h|/(n f)\)。正态 n=8 处的量级核对（解析估算）：秩跨度约 0.75、\(f(Q_1)=\varphi(0.6745)=0.318\)，分歧 ≈ 0.75/(9×0.318) ≈ 0.26σ ≈ 0.2 IQR，与实测均值 0.263 IQR 同量级（离散型的秩跳跃把尾部拉高，故 p95=0.78 远大于均值）。

有两个例外：对数正态的 Q3 分歧是同 n 正态的约 2 倍（n=8：0.514 vs 0.279），因为右偏分布的上四分位处密度更低、次序统计量间距更大；双峰分布的中位数衰减只有 n^−0.652，且 n=256 时中位数分歧（0.0146）仍是 Q1/Q3（0.0018）的 8 倍。中位数落在两峰之间的低密度反模态区，\(f(\tilde{x})\approx 0\) 使间距公式的分母失效。因此在双峰数据上比较不同软件画出的箱线图时，中位数的定义差异最持久。

4.4 (c) 离群点判定的敏感性¶

固定数据集上的计数差异。数据集 A：64 点标准正态 + 注入 {6.5, 7.0, −6.0}（n=67）；数据集 B：32 点 lognormal(0,1)。1.5×IQR 栅栏、各定义用自己的 Q1/Q3：

定义	A 计数	A 栅栏	B 计数	B 栅栏上界
R-1	3	[−3.4602, +2.9186]	3	+3.4958
R-2	3	[−3.4602, +2.9186]	3	+3.9624
R-3	3	[−3.4462, +2.8952]	3	+3.4958
R-4	3	[−3.4756, +2.9166]	3	+3.4958
R-5	3	[−3.4335, +2.8988]	3	+3.9624
R-6	3	[−3.4602, +2.9186]	2	+4.2054
R-7=QWT	3	[−3.4068, +2.8790]	3	+3.7194
R-8	3	[−3.4424, +2.9054]	3	+4.0434
R-9	3	[−3.4402, +2.9038]	3	+4.0232

A 上九种定义全部判出 3 个（注入点距栅栏足够远，定义差异撼不动）；B 上 R-6 判 2、其余判 3，边缘点的归属确实随定义翻转：R-6 的 Q3 更高（+1.8879 vs R-7 的 +1.6974），栅栏更宽。QWT 在 B 上的 whiskerLower=+0.0928 是数据最小值（max(minVal, fence) 的夹取生效，未夹取栅栏为 −1.6726）：全正数据下 QWT 的下须不可能产生离群点计数偏差，但须线端点被夹到 minVal 而非栅栏。

数据集 B 本身也说明重尾/偏斜的代价：3/32 = 9.4% 的点被标为离群，而 1.5×IQR 规则的设计基准是正态分布（栅栏位于 ±2.698σ，理论误标率 \(2\Phi(-2.698)\approx 0.70\%\)，解析值）。对数正态的"离群点"多数是右尾的自然样本。

小样本的组合边界。问："多小的 n 上 1.5×IQR 规则不可能判出任何离群点？"这是组合计数问题，可以精确回答。栅栏上界是次序统计量的固定线性组合 \(\text{fence}(x) = 2.5\,q_3(x) - 1.5\,q_1(x)\)（系数只依赖 n 与定义），判据 \(x_{(n)} > \text{fence}\) 即 \(c\cdot x > 0\) 且 \(\sum_i c_i = 0\)（平移不变）。以非负间隙 \(g_j = x_{(j+1)} - x_{(j)}\) 参数化（\(x_{(1)}=0\)），得 \(c\cdot x = \sum_j d_j g_j\)，\(d_j = \sum_{i>j} c_i\)：存在离群点构型当且仅当某个 \(d_j > 0\)，且见证构型就是"只在第 j 个间隙放 1"。对九种定义解这个 23×9 的小问题（脚本解析计算 + 每格 400–2000 次随机搜索复核，n−1 处不可行性同样双重确认）：

定义	最小可判 n	见证数据（排序后）	见证栅栏上界
R-1	4	[0, 0, 0, 1]	0.0000
R-2	5	[0, 0, 0, 0, 1]	0.0000
R-3	3	[0, 0, 1]	0.0000
R-4	3	[0, 0, 1]	0.6250
R-5	5	[0, 0, 0, 0, 1]	0.6250
R-6	6	[0, 0, 0, 0, 0, 1]	0.6250
R-7（QWT）	4	[0, 0, 0, 1]	0.6250
R-8	5	[0, 0, 0, 0, 1]	0.8333
R-9	5	[0, 0, 0, 0, 1]	0.7812

左/中：固定数据集上离群点计数随定义的变化（红 = R-7 = QWT）；右：各定义下 1.5×IQR 规则可触发离群点的最小样本量

对 QWT 的 R-7 口径，n=3 的不可能性有初等证明：设 \(x_1\le x_2\le x_3\)，R-7 给 \(q_1 = \tfrac{x_1+x_2}{2}\)、\(q_3 = \tfrac{x_2+x_3}{2}\)，于是

\[ \text{fence} - x_3 \;=\; \frac{x_2 + 0.5\,x_3 - 1.5\,x_1}{2} \;\ge\; \frac{x_1 + 0.5\,x_3 - 1.5\,x_1}{2} \;=\; \frac{x_3 - x_1}{4} \;\ge\; 0 \]

（第一步用 \(x_2 \ge x_1\)。）下侧由九种定义共有的对称性 \(Q_{1-p}(-X) = -Q_p(X)\) 同理。而 n=4 立即可判：\([0,1,2,100]\) 在真实 C++ 上给出 Q1=0.75、Q3=26.5、IQR=25.75、栅栏 [0, 65.125]、离群点 {100}（4.6 节 witness_n4 用例，Python 复刻逐位一致）。

由此可以澄清一个流传说法："n=5 的箱线图不可能出现离群点"。对 R-7（QWT）这是错的：\([0,1,2,3,100]\) 的 R-7 四分位数恰为整数秩（index=1 与 3），IQR=2、上栅栏 6，100 被干净判出（C++ witness_n5 用例实测 outliers=1）。该说法成立的语境是取平均铰链（hinges）的口径（如 R-2 在 n=4、或深度法铰链在 n=4：极端点自身被平均进铰链，把 IQR 撑大，上面的间隙论证给出 R-2 最小可判 n=5）。n=4 的 R-7 反例里，100 以 0.25 的插值权重把自己拉进 Q3（Q3=26.5），栅栏随之暴涨到 65：极值参与四分位数插值是 R-4/R-7 最小可判 n 偏小的机制，也是 R-6…R-9 里虚拟秩越靠外（R-6 的 h=(n+1)p 最大，极端观测以更大的插值权重进入 Q3、抬高栅栏）最小可判 n 越大（R-6 要到 6）的原因。

ties 与 IQR=0。QWT 语义下的实测（stdout C3 节）：\([5,5,5,5,5,5,12]\) 给 Q1=Q3=5、IQR=0、须线塌缩为 [5,5]、离群点 {12}；超过半数相同的值使 IQR 归零，任何不等的值都成为离群点。\([3,3,3,3,3,3,3]\) 则 IQR=0 且无离群点（全等于栅栏，严格不等式不触发）。离散型数据（计数、等级、整数传感器读数）上这是常态而非例外。

4.5 (d) 计算代价：排序式精确计算 vs 流式近似¶

QWT 策略的解析计数（依据 3.1 节源码，无计时）：calculateFromRaw = 过滤 \(n\) 次判断 + 一次 QVector 拷贝 + std::sort（introsort 族，平均 \(\approx n\log_2 n\) 次比较，MSVC 实现对小区间切换插入排序）+ 至多 6 次 O(1) 索引 + 栅栏 O(1) + 离群扫描 \(n\) 次比较；calculateFull 再加一遍 \(n\) 的离群值收集。合计 \(O(n\log n)\) 时间、峰值新增 \(16n\) 字节内存（filtered 与 sorted 两份拷贝与输入同时存活）。

渐近上可以更好：五数概括只依赖 ≤6 个确定秩的次序统计量，用 3–6 次 std::nth_element（introselect，平均 O(n)）可把统计部分降到 \(O(n)\)，离群值收集本来就不需要有序。QWT 不这么做是合理的工程取舍：箱线图每个箱子对应一个分组，n 通常在 5–10⁴ 量级，std::sort 的常数极小；排序版数据同时服务 calculate(sorted) 的多方法复用入口；且若用户要绘制离群点（extractOutliers/setOutliers），原始值必须保留，O(n) 内存省不掉。真正需要渐近改进的场景是"每帧对 10⁶ 点重算统计"；那时正确做法是增量维护或流式近似，而不是换 nth_element。

流式近似的误差代价：P² 算法（Jain & Chlamtac 1985）用 5 个标记单遍跟踪一个 p 分位数，O(1) 内存。脚本实现了完整 P²（含抛物线/线性双回退），与精确排序值（R-7）对比，5 次独立运行的平均误差（按样本 IQR 归一 / 绝对值）：

流	n	p25	p50	p75
normal	1,000	0.00731 / 0.00988	0.00643 / 0.00858	0.00696 / 0.00937
normal	10,000	0.00115 / 0.00155	0.00079 / 0.00105	0.00177 / 0.00237
normal	100,000	0.00039 / 0.00052	0.00021 / 0.00029	0.00035 / 0.00047
lognormal	1,000	0.00315 / 0.00475	0.00961 / 0.01423	0.01968 / 0.02926
lognormal	10,000	0.00076 / 0.00110	0.00173 / 0.00247	0.00651 / 0.00938
lognormal	100,000	0.00017 / 0.00025	0.00055 / 0.00080	0.00156 / 0.00227

P² 流式估计相对精确 R-7 分位数的误差（按样本 IQR 归一，5 次独立运行均值）

误差随 n 衰减，10×n 带来数倍精度提升（逐格实测衰减因子 2.9–8.1×，并非恒定 10×），偏斜流上 p75 误差约为正态的 3 倍且随 n 扩大（实测 n=1000/10⁴/10⁵ 分别为 2.8/3.7/4.5×，标记密度跟不上右尾）。n=1000 时 0.003–0.02×IQR 的误差对箱体位置几乎无害（对比 4.3 节：九种精确定义之间的分歧就有 0.16–0.51×IQR，比 P² 的近似误差大一个数量级）。P² 真正丢失的是离群点：它不存观测值，extractOutliers 无从谈起，栅栏内计数只能靠另建流式计数器近似。流长 <5 时 P² 无标记可用（脚本回退到精确中位数，实测与 numpy 一致：0.484581）。箱线图场景选"排序 + 精确分位数"是对的：分组 n 小、一次性计算、离群点需要原始值；P² 适合的是无法存储的连续流上的粗粒度监控（参见实时流式渲染篇的窗口化数据讨论）。

4.6 (f) C++ 交叉验证¶

docs/assets/algorithms/boxstats_check.cpp 链接真实 Release 构建（build-release/lib/qwtcore.lib + Qt 5.15.16），从 stdin 读取 Python 端生成的 20 个用例（boxstats_cases.txt：正态 n=5/8/64/256、对数正态、三个小样本见证、ties、常数、单点、双点、空、含 NaN/Inf、Percentile/SD/SE/MinMax 方法），对每个用例调用 QwtBoxStatisticsCalculator::calculateFull 并按 %.17g 打印。Python 端用同一复刻重算并比对：20/20 用例通过，最大相对差 0.000e+00（逐位一致），离群点值列表逐项一致。这一步把 4.2 节"Python 复刻 ≡ R-7"的结论传递为"真实 C++ ≡ R-7"，同时下列源码行为全部在真实二进制上复现：

witness_n3：[0,1,2] → 栅栏 [0,2]、outlierCount=0（n≤3 不可判的证明实例）；
witness_n4 / witness_n5：outlierCount=1（R-7 最小可判 n=4）；
with_nan：[1,2,nan,3,inf,4,5] → 过滤后等价 [1..5]，wl=1/q1=2/med=3/q3=4/wu=5（NaN 过滤正确）；
pctl5：whiskerLower=−1.599655 < whiskerUpper=1.860208、outlierCount=8/64（Percentile 修复后；修复前为 1.860208 > −1.599655、64/64）;
se1：whiskerUpper=99.9653 < q3=108.5597、outlierCount=55/64（SE 须线伸进箱体）;
empty：全零 QwtBoxSample（空数据画在值 0 处）。

编译配方式（MSVC 2019 x64，无计时逻辑）：cl /O2 /EHsc /std:c++17 /MD，包含目录 src、src/core 与 Qt include，链接 qwtcore.lib Qt5Core.lib Qt5Gui.lib，运行前 PATH 加入 build-release/bin 与 Qt bin。一个移植细节：MSVC 的 istream >> double 不认 "nan"/"inf" 字面量，harness 改为读 token 后 std::strtod 解析。

5. 讨论：失效模式¶

以下每条都有源码行号或 4.6 节的 C++ 实测背书，按影响排序：

Percentile 须线方法上下界互换（v7.5.1 已修复）（修复后的分支：qwt_box_statistics.cpp:131-135）：首发版本 whiskerLower 取 1−c/100 高分位、whiskerUpper 取 c/100 低分位，在系数 <50 且数据非常数时 isValid() 必为 false、outlierCount 等于样本量（当时实测 c=5：64/64；常数数据 wl=wu、计 0；c≥50 时两水平不互换，c=95 行为反而正确）。v7.5.1 起水平对调，pctl5 复测 8/64；注意 c 是尾部百分比，所以 >25 时须线进入箱体（c=49 时 wl=q(0.49) > q1 属定义使然，不是缺陷）。
"均值标记"画在中位数位置（v7.5.1 已修复）（修复后的分支：qwt_plot_boxchart.cpp:712-719）：首发版本 meanVisible && meanSymbol 分支用 valueMap.transform(sample.median) 定位符号，而 QwtBoxSample 根本没有 mean 字段：开启"均值标记"得到的是 medians 的重复绘制。v7.5.1 起 QwtBoxSample 携带 mean（默认 NaN）与 hasMean()，统计器为每个算出的样本填入均值，标记画在 sample.mean 上、样本无均值时不画；手工组装的样本需自行赋值。
须线端点是栅栏值而非数据点：与 R/matplotlib/seaborn 的画法系统性不一致（实测上侧差 0.591、下侧差 1.265），跨工具对图必然对不齐；QWT 内部（计数与须线）自洽。
小样本组合边界：R-7 口径 n=4 起即可判离群点、n≤3 恒不可判；n=4 的反例机制是极值以 0.25 权重参与 Q3 插值（[0,1,2,100] → Q3=26.5）。n<8 的箱线图统计意义薄弱，n≤3 的箱子永远不会显示离群点，用户不应把"无离群点"解读为"数据干净"。
ties / IQR=0：过半相同值使 IQR=0，须线塌缩，所有不等值全部成为离群点（实测 [5×6,12] 判出 {12}）。离散数据上应改用 Percentile 语义的自定义栅栏（手工计算，见第 6 节）或干脆关闭离群点。
重尾与偏斜：1.5×IQR 的正态设计误标率 0.70%，对数正态实测 9.4%（3/32）：把偏度当离群。右偏（对数正态）分布上 Q3 的定义分歧又约是正态的 2 倍（4.3 节），双重放大不确定性。
Notch 风格是装饰性的：凹口 = 箱高的 10%（qwt_plot_boxchart.cpp:781），与 McGill et al.（1978）的 \(\pm1.57\,\mathrm{IQR}/\sqrt n\) 置信缺口无关，不能用于"两箱缺口不重叠 → 中位数差异显著"的判读。
calculate() 不防御脏输入：含 NaN 或未排序的入参会静默产出错误结果（NaN 传播 / 秩错乱）；只有 calculateFromRaw/calculateFull 过滤并排序。空输入返回全零样本而非无效标记，空箱会画在值 0 处并影响 boundingRect 自动缩放。
离群点抖动的非确定性：setOutlierJitter > 0 时每次重绘用 QRandomGenerator::global() 重新抖动，导出图与屏幕图、两次截屏的离群点位置都不一致；需要可复现输出时保持 jitter=0。
SD/SE 方法的语义陷阱：它们不是箱线图栅栏，c=1 的正态数据上 SD 方法计 21/64、SE 方法计 55/64 个"离群点"，SE 方法还出现 wu < q3（须线穿入箱体）。用作误差棒可以，用作离群探测必错。

6. 代码实践¶

6.1 基本用法：从原始数据到箱线图¶

示例程序 examples/2D/boxchart（工具栏可切换 Rect/Diamond/Notch 与横竖方向，Export 导出 PDF）演示了标准流程：

BoxChart 示例：蓝色为手工五数概括（Pre-computed），红色为从原始数据计算的箱体与离群点（Calculated from Raw Data）

#include <qwt_plot.h>
#include <qwt_plot_boxchart.h>
#include <qwt_box_statistics.h>
#include <qwt_symbol.h>

QwtPlot* plot = new QwtPlot;

QwtPlotBoxChart* boxes = new QwtPlotBoxChart("sensor-a");
boxes->attach(plot);                    // attach 时自动从颜色循环取 pen/brush

QVector< double > rawData = /* ... 原始观测 ... */;

// 一次调用得到五数概括 + 离群点值（默认 Tukey 1.5×IQR，R-7 分位数）
QwtBoxSample sample;
QwtBoxOutlierSample outliers;
QwtBoxStatisticsCalculator::calculateFull(1.0, rawData, sample, outliers);

boxes->setSamples(QVector< QwtBoxSample >() << sample);
boxes->setOutliers(QVector< QwtBoxOutlierSample >() << outliers);

// 离群点符号与抖动（jitter>0 时每帧随机，导出前建议设 0，见失效清单第 9 条）
QwtSymbol* sym = new QwtSymbol(QwtSymbol::Ellipse);
sym->setSize(6, 6);
sym->setBrush(Qt::NoBrush);
sym->setPen(QPen(QColor("#d62728"), 1.0));
boxes->setOutlierSymbol(sym);           // item 接管所有权
boxes->setOutlierJitter(0.0);

calculateFull 的 position 参数是分类轴坐标；多组数据就是多个 QwtBoxSample，setBoxExtent(0.35) 控制箱宽占分类间距的比例。extractOutliers(sample, sorted) 单独暴露，可对同一份排序数据换系数重扫而不重算四分位数。

6.2 自定义统计口径：R-8 分位数 + 手工填充¶

QwtBoxSample 是纯数据结构，QwtPlotBoxChart 从不重算统计量，这给了用户完全的口径自由。绕开内置 R-7 口径（或需要内置方法未提供的统计量）的做法是自己算好五个数再填充：

// R-8 quantile (Hyatt & Sackrow): h = (n + 1/3)*p + 1/3
static double quantileR8(const QVector< double >& sorted, double p)
{
    const int n = sorted.size();
    if (n == 0)
        return 0.0;
    const double h = (n + 1.0 / 3.0) * p + 1.0 / 3.0;   // 1-based virtual rank
    if (h <= 1.0)
        return sorted.first();
    if (h >= n)
        return sorted.last();
    const int j = static_cast< int >(std::floor(h));
    const double g = h - j;
    return (1.0 - g) * sorted[ j - 1 ] + g * sorted[ j ];
}

QVector< double > sorted = rawData;
std::sort(sorted.begin(), sorted.end());                // 自行过滤 NaN/Inf

const double q1 = quantileR8(sorted, 0.25);
const double q3 = quantileR8(sorted, 0.75);
const double iqr = q3 - q1;

// 经典 Tukey 端点约定：须线落在栅栏内的最极端数据点上（与 R 一致）
const double fLo = q1 - 1.5 * iqr, fHi = q3 + 1.5 * iqr;
double wLo = sorted.first(), wHi = sorted.last();
for (double v : sorted) { if (v >= fLo) { wLo = v; break; } }
for (int i = sorted.size() - 1; i >= 0; --i)
    if (sorted[ i ] <= fHi) { wHi = sorted[ i ]; break; }

QwtBoxSample sample(1.0, wLo, q1, quantileR8(sorted, 0.5), q3, wHi);

QVector< double > outlierValues;
for (double v : sorted)
    if (v < fLo || v > fHi)
        outlierValues.append(v);
QwtBoxOutlierSample outlierSample(1.0, std::move(outlierValues));

同一模式适用于：自定义水平的分位数栅栏、真均值标记（v7.5.1 起可直接给 sample.mean 赋值，此处仍可叠加 QwtPlotMarker 自绘）、McGill 统计缺口（自行按 \(\tilde{x}\pm1.57\,\mathrm{IQR}/\sqrt n\) 判断显著性，Notch 风格只做视觉呈现）。

6.3 选型速查¶

场景	建议
一般分组对比（默认）	`calculateFull` + Tukey 1.5，接受 R-7 口径与栅栏端点约定
与其他统计软件对图	手工填充 R 端点约定（6.2），并注明分位数类型
离散/大量 ties 数据	预期 IQR=0 塌缩；改百分位栅栏或关闭离群点
n<8 的小组	统计意义弱；n≤3 无离群点是数学必然，不是数据结论
右偏/重尾数据	1.5×IQR 会把偏度当离群；考虑对数轴或改用 SD/SE 误差棒语义
百万点流式监控	P² 粗监控可以（误差 ≈0.007×IQR @1000 点），精确箱体仍需排序
Percentile 须线	直接用内置方法（v7.5.1 起正确）；c 为尾部百分比，>25 时须线进入箱体

7. 小结¶

QWT 的箱线图统计口径是 R-7 分位数、Tukey 1.5×IQR 栅栏、栅栏值端点与严格不等式离群判据，并在入口处过滤 NaN。对 5–10⁴ 量级的分组，"排序 + 精确计算"是正确的取舍；P² 流式近似在 n=1000 时误差为 0.003–0.02×IQR，代价是丢弃离群点身份（4.5 节）。

估计器选择的影响随样本量变化：n≥64 时九种定义的均值分歧落到 0.008–0.055×IQR（正态 0.027、对数正态 Q3 最大 0.055），n=256 时全部 ≤0.015×IQR，口径之争基本无关紧要；n≤16 时定义噪声（n=8 的 Q3 分歧均值 0.28–0.51×IQR、p95 至 1.70×IQR）与抽样噪声同量级，跨软件对图的差异多数是定义而非 bug。离群点计数在注入点远离栅栏时稳健，但边缘点归属会翻转（数据集 B 上 R-6 与其余八种相差一个点），小样本还有硬组合边界（R-7 最小可判 n=4）。分组 n≥8、数据连续且分布近似对称时，默认配置的结论可信；否则应显式声明口径，或按第 6 节手工接管统计量。

两个源码级缺陷（Percentile 互换、mean 标记画在 median）已在 v7.5.1 修复，并由 tests/box_statistics_test 与 4.6 节的复测数据验证；其余语义陷阱（栅栏端点约定、SD/SE 语义、Notch 装饰性）在第 5 节列明并给出规避方案。

8. 参考文献¶

Hyatt, N., Sackrow, L. An R Tutorial on Quantiles. R News, 3(2), 2003.（R-1…R-9 定义表）
Tukey, J. W. Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley, 1977.（箱线图与 1.5×IQR 栅栏）
McGill, R., Tukey, J. W., Larsen, W. A. Variations of Box Plots. The American Statistician, 32(1), 1978.（notch 置信缺口；QWT 的 Notch 风格与之不同，见失效清单第 7 条）
Jain, R., Chlamtac, I. The P² Algorithm for Dynamic Calculation of Quantiles and Histograms Without Storing Observations. Communications of the ACM, 28(10), 1985.
Frigge, M., Hoaglin, D. C., Iglewicz, B. Some Implementations of the Boxplot. The American Statistician, 43(1), 1989.（须线端点约定差异）
QWT7 源码：src/core/qwt_box_statistics.h/.cpp（统计管线与五种须线方法）、src/core/qwt_samples.h（QwtBoxSample/QwtBoxOutlierSample）、src/plot/qwt_plot_boxchart.h/.cpp（绘制、Notch/抖动实现）。
QWT7 示例：examples/2D/boxchart（手工五数概括 + calculateFull 双 item 对比）。
实验脚本：docs/assets/algorithms/boxstats_experiment.py、boxstats_check.cpp、用例 boxstats_cases.txt（确定性种子，可重复运行）。

配套阅读： 实时流式渲染：窗口化数据与增量更新 —— 当箱线图的输入本身是流时，窗口化排序与 P² 近似的取舍；SIMD argmin/argmax —— 同为次序统计量问题，极值可 SIMD 化而中间分位数不行。